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一題數論問題

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回復 1# larson 的帖子

設自然數 n 有 k 個正因數,且 n = k^2

n 是完全平方數,故 k 為奇數

k = 1,n = 1
k = 3,n = 9

若 k 是大於 3 的質數,則 n 只有 3 個正因數,不合

若 k 是大於 3 的奇合數,令 k = a_1^p_1 * a_2^p_2 * ...... * a_m^p_m
其中 a_1 < a_2 < a_3 < ....... < a_m 是相異奇質數
p_1,p_2,p_3,.......,p_m 是正整數
則 n = (a_1^p_1 * a_2^p_2 * ...... * a_m^p_m)^2,有 (2p_1 + 1)(2p_2 + 1)......(2p_m + 1) 個正因數

由於
a_1^p_1 ≧ 3^p_1 ≧ 2p_1 + 1
a_2^p_2 ≧ 5^p_2 > 2p_2 + 1
:
:
故 (2p_1 + 1)(2p_2 + 1)......(2p_m + 1) < a_1^p_1 * a_2^p_2 * ...... * a_m^p_m,不合

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