7.
\(\vec{a},\vec{b}\)兩非零向量，\(|\;\vec{a}|\;=4\)，\(|\;\vec{a+2b}|\;=2\)，試求\(|\;\vec{2a+b}|\;+|\;\vec{b}|\;\)之最大值。
[解答]
由題目條件得:\(\displaystyle a\cdot b+|b|^2=-3\)
所求為\(\displaystyle \sqrt{64+4a\cdot b+|b|^2}+\sqrt{|b|^2}\)
改寫為\(\displaystyle \sqrt{52-3|b|^2}+\sqrt{|b|^2}\)

由柯西不等式可知所求\(\displaystyle \leq \sqrt{\frac{208}{3}}\)

2021.7.29補充 感謝three0124更正筆誤

6.
空間中有一四面體，6個稜長中有5個為6，1個為\(x\)，另一個體積相同的四面體，6個稜長中4個為6，2個為\(x\)，且兩個稜長為\(x\)的邊不相鄰，試求\(x\)之值為　　　。
[解答]
這題考試應該先被計算量搞死
底面都設定成邊長為6,6,x的三角形
因此可知兩個四面體的高是相同的
兩個四面體的高分別為\(\displaystyle 6\times \frac{\sqrt{27-\frac{x^2}{4}}}{\sqrt{36-\frac{x^2}{4}}}\)  , \(\displaystyle x \frac{\sqrt{36-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{36-\frac{x^2}{4}}}\)

接下來就是解方程式了 最後化簡成\(\displaystyle x^4-90x^2+1944=0\)
得\(\displaystyle (x^2-54)(x^2-36)=0\)
所以\(\displaystyle x=6 ,x=3\sqrt{6}\)
題目應該要補\(x\neq 6\)?

PS.這題應該是從107年全國數甲模考出來的 原題目的邊長是\(\sqrt{6}\)

5
兩邊平方就好了?
平方後得\(\displaystyle a^2+c^2+2b^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\)在\(a,b,c>0\)的條件下明顯大於\(a^2+c^2\)
只是感覺應該可以構造一個幾何例子來直接說明
還望各位前輩高手指點

真夠巧妙 謝謝您的指點
另外您應該筆誤 CD=c才是?