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110臺北市高中聯招

引用:
原帖由 icegoooood 於 2021-5-10 16:30 發表
不好意思,小弟尚菜

想求填充2.6與多選2的解法  (複數的部分好菜..)

點了Bugmens老師的連結進去,但沒看到解法
多選2
2.
在複數平面上,\(z,z^2,z^3\)構成一個直角三角形的三個頂點,且\(|\;z|\;=2\)。請問下列哪些選項,可以是主輻角\(Arg(z)\)的值?
(A)\(\pi\) (B)\(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\) (C)\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\) (D)\(\displaystyle \frac{4\pi}{3}\) (E)\(\displaystyle \frac{5\pi}{3}\)
[解答]
假設A點:z=2(cosθ+i*sinθ) ,B點:z² ,C點 :z^3
(1)若∠A為直角,則(z^3-z) /(z²-z)= z+1 =(2cosθ+1)+i*2sinθ
    且2cosθ+1=0 ,cosθ= -1/2 ,θ=2π/34π/3
(2)若∠B為直角,則(z^3-z²) /(z-z²)= -z= -2cosθ-i*2sinθ
   且 -2cosθ=0 ,θ=π/23π/2
(3)若∠C為直角,則(z-z^3)/(z²-z^3)= (1+z)/z =(1/z) +1 =[(1/2)cos(-θ)+1] +(1/2)sin(-θ)*i
   且(1/2)cos(-θ)+1 =(1/2)cosθ+1=0 ,cosθ= -2 不合

註:當然可以把五個選項逐一代入檢驗

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引用:
原帖由 彤仔 於 2021-6-3 10:43 發表
複數的內容我也很弱,現在都不知道該如何補救
想請問老師,為何兩個複數相減並相除後,實部會為0呢? 謝謝
假設A點:z=2(cosθ+i*sinθ) ,B點:z² ,C點 :z^3
(1)若∠A為直角,則(z^3-z) /(z²-z)= z+1 =(2cosθ+1)+i*2sinθ
    且2cosθ+1=0 ,cosθ= -1/2 ,θ=2π/3 或4π/3
..................

用(1)來講解,z^3-z可以想成由A點到C點的向量, 但表法是複數,假設主輻角是θ1
z²-z想成由A到B點的向量,但表法是複數,假設主輻角是θ2
則由複數極式運算可知(z^3-z) /(z²-z) 的主輻角是θ1-θ2
此時θ1-θ2=∠ CAB =90度[ (1)的假設 ]
又設(z^3-z) /(z²-z)=k(cos90 度+i*sin90度)= k(0+i)=ki  可知實數部分為0
所以2cosθ+1=0 ..................

註:其實"最基本的公式就是最重要的",要仔細深入,反覆琢磨複數基本運算,觀念,圖形概念
     達到如火純青地步就能靈活運用~

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