回復 23# 呆呆右 的帖子
1.
下列關於數列與級數的述敘，選出正確的選項。
(A)一個數列有可能同時是等比數列也是等差數列
(B)一個數列有可能不是等比數列也不是等差數列
(C)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)發散，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必發散
(D)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\)必收斂
(E)若\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{4n-3}+a_{4n-1}+a_{2n})\)必收斂
[解答]
(E) 反例
\( a_{n}=(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}} \)
\( a_{n} \) 遞減，且 \( \lim\limits _{n\to\infty}a_{n}=0 \)，因此 \( \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n} \) 收斂，令 \( A=\sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n} \)
\( \sum\limits _{k=1}^{n}\left(a_{4k-3}+a_{4k-1}+a_{2k}\right)=\left(\sum\limits _{k=1}^{2n}a_{k}\right)+\left(\sum\limits _{k=n+1}^{2n}a_{2k-1}\right) \)
其中 \( \sum\limits _{k=1}^{2n}a_{k}\to A \), \( \sum\limits _{k=n+1}^{2n}a_{2k-1}=\sum\limits _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}=\frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt{2n+1}}{2}=\frac{\sqrt{n}}{2}\left(\sqrt{4+\frac{1}{n}}-\sqrt{2+\frac{1}{n}}\right) \)。
因此 \( n \to \infty \) 時，\( \sum\limits _{k=1}^{n}\left(a_{4k-3}+a_{4k-1}+a_{2k}\right) \) 的極限不存在
