計算證明題3.
正三角形\(ABC\)的邊長為1，且\(D\)、\(E\)分別為邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)上的點。將三角形\(ADE\)沿線段\(\overline{DE}\)摺疊時，頂點\(A\)恰落在邊\(\overline{BC}\)上，試問在此條件下，線段\(\overline{AD}\)的最小值等於多少？
[解答]
設 A對DE的對稱點為F,  a=角BAF
則 AF/sin60度=1/sin(60度+a) ,  
     AD=(AF/2)/cosa=ㄏ3/[ 4sin(60度+a)*cosa]
          =ㄏ3/[ 4(sin60度*cosa+cos60度*sina)*cosa]
          =ㄏ3/[sin(2a)+ㄏ3*cos(2a)+ㄏ3]>=ㄏ3/(2+ㄏ3)=2ㄏ3-3,此數為所求
         此時 a=15度 , AE<AE/sin75度=AD/sin45度<1/2/sin45度<1,D在AB上,E在AC上,沒有問題

已知\(n\)為正整數，且方程式\(x^{10}+(nx-1)^{10}=0\)的10個複數根為\(z_k,\overline{z_k}(k=1,2,3,4,5)\)，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^5 \frac{1}{z_k \overline{z_k}}\)。(以\(n\)表示)
[解答]
令 w=cos18度+isin18度 , nx-1=x*w^(2k+1)  =>  x=1/(n-w^(2k+1)) ,k=0,1,2..9
所求=(n-w)(n-w^19)+(n-w^3)(n-w^17)+(n-w^5)(n-w^15)+(n-w^7)(n-w^13)+(n-w^9)(n-w^11)
       =5n^2+5