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第六題，餘弦定理的部分相同
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 4\cos C\) \( \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2 \cdot \frac{{a^2} + {b^2} - {c^2}}{ab} \)
(謝謝橢圓兄幫抓筆誤，補上分母 ab)
\( \Rightarrow 2{c^2} = {a^2} + {b^2}\) \( \Rightarrow \cos C = \frac{{{c^2}}}{{2ab}}\)
剩下來的用正弦、餘弦表示正切、餘切，
正弦的比值可以用正弦定理換成邊長的比值，
餘弦的部分，用餘弦定理或投影(好像叫投影定理)，可得以下
\( \tan C\left( {\cot A + \cot B} \right) = \frac{{\sin C}}{{\cos C}} \cdot \left( {\frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}}} \right) \)
\( = \frac{c}{{\cos C}}\left( {\frac{{\cos A}}{a} + \frac{{\cos B}}{b}} \right) \)
\( = \frac{{c \cdot (b\cos A + a\cos B)}}{{ab\cos C}} \)
\( = \frac{{c \cdot c}}{{ab\cos C}} = 2 \)
[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-6-14 16:18 編輯 ]
