第八題

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-6-19 08:39 編輯 ]

cotx，x趨近0+時趨近無限
而且分母的微分也不見了
分子趨近0，分母趨近無限

謝謝您的提醒，下次多檢查一下，上面已經更正了！

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-5-10 18:15 編輯 ]

板上老師好

第六題做到  利用算幾不等式得到角C小於等於60度

和餘弦定理  cosC=(c^2)/(2ab)   然侯就卡住了,,,

希望有老師可以求教一下

第六題，餘弦定理的部分相同
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 4\cos C\) \( \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2 \cdot \frac{{a^2} + {b^2} - {c^2}}{ab} \)
(謝謝橢圓兄幫抓筆誤，補上分母 ab)

\( \Rightarrow 2{c^2} = {a^2} + {b^2}\) \( \Rightarrow \cos C = \frac{{{c^2}}}{{2ab}}\)

剩下來的用正弦、餘弦表示正切、餘切，
正弦的比值可以用正弦定理換成邊長的比值，
餘弦的部分，用餘弦定理或投影(好像叫投影定理)，可得以下
\( \tan C\left( {\cot A + \cot B} \right) = \frac{{\sin C}}{{\cos C}} \cdot \left( {\frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}}} \right) \)
\( = \frac{c}{{\cos C}}\left( {\frac{{\cos A}}{a} + \frac{{\cos B}}{b}} \right) \)
\( = \frac{{c \cdot (b\cos A + a\cos B)}}{{ab\cos C}} \)
\( = \frac{{c \cdot c}}{{ab\cos C}} = 2 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-6-14 16:18 編輯 ]

謝謝寸絲老師指點,明白了

引用:

原帖由 tsusy 於 2021-6-13 21:47 發表
第六題，餘弦定理的部分相同
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 4\cos C\) \( \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2 \cdot ({a^2} + {b^2} - {c^2})\) \( \Rightarrow 2{c^2} = {a^2} + {b^2}\) \( \Rightarrow \co ...

寸絲前面有一個筆誤: a/b +b/a =2(a²+b² -c² )/ ab  
印象中, 這題是由民國95年某校教甄題去改一下外觀的

另解:
這題本來想說故意"不用餘弦定理",但真的還不太行 :需用到a² +b² =2c² 這條件-----------(1)
由正弦定理可知 a/b+b/a=4cosC   =>   sinA/sinB +sinB/sinA = (sin² A +sin² B)/ (sinAsinB) =4cosC-------------(2)
所求=tanC(cotA+cotB)=(sinC/cosC)*(sinAcosB+cosAsinB)/(sinAsinB)=(sinC/cosC) *sin(A+B)/(sinAsinB)
=(sinC/cosC) *sinC/(sinAsinB) (將(2)代入)
=4sin² C/(sin² A+sin² B)= 4c² /(a² +b² )  (by 正弦定理)
=4c²/2c²=2 (by (1))
當然用寸絲的方式會比較快,但考生也要多去思考是否可"一題多解"
這樣才能增強數學解題能力 . 在此先拋磚引玉一下~