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110北科附工

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110北科附工

請教第 4 題
(1) 已知\(a,b,c>0\).試證明\(\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a}\ge \frac{a+b+c}{3}\)。
(2) 已知\(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3>0\),試證明\((a_1^3+a_2^3)(b_1^3+b_2^3)(c_1^3+c_2^3)\ge (a_1b_1c_1+a_2b_2c_2)^3\)。
------
110.05.08
感謝 chen3553 老師提供記憶版題目,我將老師分享的試題再修正,提供給老師們參考。

備註:
第 8 題的第 (1) 小題學校題目有打錯, \(n → 0^+\) 應該改為 \(x → 0^+\) ,此題應該要送分。
但是昨天晚上考北科附工,今天早上考新北聯招,大家應該都累壞了。
不知道有沒有老師今天早上來得及去提疑義?
(昨天晚上我本來想提,但是找不到疑義申請表,想說今天再打電話問,結果忘了)
------
110.5.9版主補充
Superconan提供更完整題目,將chen3553版本移回原文章

111.5.12版主補充
新增官方版題目

附件

110北科附工試題(記憶版).pdf (202.34 KB)

2021-5-8 21:08, 下載次數: 505

110北科附工(官方版).pdf (185.93 KB)

2021-5-12 13:07, 下載次數: 526

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(1)柯西不等式
\((\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a})\)\((3a+3b+3c)\geq (a+b+c)^2\)


\(\displaystyle \frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+c}+\frac{c^2}{2c+a}\geq \frac{a+b+c}{3}\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-5-7 22:59 編輯 ]

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(2)原式即証\(\displaystyle (1+r_1^3)(1+r_2^3)(1+r_3^3)\geq (1+r_1r_2r_3)^3\)
其中\(\displaystyle r_1=\frac{a_2}{a_1},r_2=\frac{b_2}{b_1},r_3=\frac{c_2}{c_1}\)

\(\displaystyle (1+r_1^3)(1+r_2^3)(1+r_3^3)=1+(r_1^3+r_2^3+r_3^3)+[(r_1r_2)^3+(r_2r_3)^3+(r_3r_1)^3]+(r_1r_2r_3)^3\geq 1+3r_1r_2r_3+3(r_1r_2r_3)^2+(r_1r_2r_3)^3=(1+r_1r_2r_3)^3\)得証

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-5-7 21:20 編輯 ]

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回復 2# satsuki931000 的帖子

請問紅色那邊怎麼整理成a+b+c?

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引用:
原帖由 Superconan 於 2021-5-7 22:28 發表
請問紅色那邊怎麼整理成a+b+c?
5989
不是這樣寫
左邊第二個括號應該是[  (√2a+b)² +√2b+c)²+√2c+a)²]

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回復 4# Superconan 的帖子

\( 3a +3b +3c = (2a+b) + (2b+c) + (2c+a) \)
是用右邊的三個去做柯西
網頁方程式編輯 imatheq

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引用:
原帖由 Superconan 於 2021-5-7 20:53 發表
請教這兩題

5988
第二題考廣義科西不等式證明
也可以用算幾不等式來證

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感謝以上老師,寫出來了,不過想請教一下,是否需書寫等號成立的條件?

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引用:
原帖由 Superconan 於 2021-5-7 22:48 發表
感謝以上老師,寫出來了,不過想請教一下,是否需書寫等號成立的條件?
要喔~這樣才不會被挑毛病而扣分

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考題記憶版

努力拼湊出的題目樣貌
大概因為大部分都是證明題就乾脆不公布......

想順道請問第3題該如何證明

附件

110 桃園農工(記憶版).pdf (144.17 KB)

2021-5-9 07:02, 下載次數: 253

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