引用:

原帖由 Superconan 於 2021-5-3 16:04 發表
請教第 11 題
算不出學校公告的答案 -8 ，不知道觀念是否有誤？

5973

用您的符號  令t=tanβ=5
sin(2β)= 2t/(1+t² )=5/13
cos(2β)= (1-t² )/(1+t² )= -12/13
代入您列的矩陣求出cos(2θ)= -63/65 , sin(2θ)= -16/25
可知θ在第二象限, 2(cosθ)^2=cos(2θ)+1 ,得cosθ= -1/√ 65
所求=tanθ= -8

填充6
設\(z\)、\(\omega\)為複數且\(|\;z|\;=2\)、\(|\;\omega|\;=1\)，則\(|\;z^2-4\omega^2+7z\omega|\;\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)　　　。
[解答]
令z/w=|z|/|w|(cosα +i*sinα)=2(cosα +i*sinα )
則4w/z=|4w|/|z|[cos(-α) +i*sin(-α)] =2(cosα -i*sinα)
所求=|z||w||(z/w) - 4(w/z)+ 7| =2| 7+4sinα* i |
=2√ [49+16 (sinα)² ]  ,因為0≦(sinα)² ≦1
最大值=2√ (49+16)=2√ 63
最小值=2√ 49=14

第12題題目出錯，這樣的PQ不存在

這份考題能考50分以上實在厲害（100分鐘而已對嗎？），
題目都有難度，根本沒辦法看完整份題目而能精準挑題，
選錯題就會耗盡時間了。

請問如何得知這樣的 P、Q 不存在？

12.
設\(\Delta ABC\)中\(\overline{AB}=2\)、\(\overline{AC}=3\)、\(\overline{BC}=4\)，分別在\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)上任取一點\(P\)、\(Q\)，使得四邊形\(PBCQ\)的面積和周長均為\(\Delta APQ\)的2倍，則\(\overline{PQ}=\)　　　。
[解答]
AP = a，AQ = b
cos∠PAQ = - 1/4，sin∠PAQ = √15 / 4
由面積可得 ab = 2

由周長可得 PQ = 9 - 3(a + b)

利用 PQ^2 = a^2 + b^2 - 2abcos∠PAQ = [9 - 3(a + b)]^2
可得 a + b = (27 + √57) / 8 或 (27 - √57) / 8
前者大於 4，不合於 9 - 3(a + b)
後者小於 2.5，會導致以 a、b 為兩根的方程無實根，也不合

（此篇為錯誤，內容保留在下方，另於下一帖釐清更正，若造成困擾在此致歉）
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第九題答案不唯一，事實上有個範圍。

學校肯公布題目跟答案，作法很棒，許多題目出得很好也值得肯定，
但審題是不是應該再嚴謹一些？
否則現場考生辛苦作答，得不出答案心很慌，
事後才發現是題目出錯，
心裡應該不是滋味。
（如果是答案錯或者題目出不好導致答案不是出題者想要的都還好（當然仍應盡量避免））

經驗算發現第九題是自己算錯，答案沒錯，錯怪出題者了。

平面上一點\(P\)以原點為中心，逆時針旋轉\(\alpha\)角，再對過原點的直線\(L\)作鏡射後得\(Q\)點，已知\(P\)、\(Q\)兩點對稱直線\(L'\)：\(y=5x\)，且\(\displaystyle tan\alpha=\frac{3}{4}\)，則直線\(L\)的斜率為　　　。
[解答]
令a=阿爾法角 ( tan(a)=3/4 ), A(OP)表OP方向角
則A(L)=((A(OP)+a)+A(OQ))/2=(A(OP)+A(OQ))/2+a/2=A(L')+a/2
(1) 當a 為銳角時 , tan(a/2)=3/(5+4)=1/3(畫半角圖馬上知道),
      所求=tan(A(L))=tan(A(L')+a/2)=(5+1/3)/(1-5*(1/3))=-8
(2) 當 a 比(1)中的a多加180度時(tan(a)一樣=3/4), a/2 要再多出90度,
      此時A(L)也跟著多出90度,所以所求=1/8 , 故 填充11. 答案 應該改成 -8 或 1/8 才對

填15
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(I\)為其內心，\(H\)為其垂心，其中\(\overline{IH}=\overline{ID}\)，則\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{HD}}=\)　　　。
[解答]

計算2
過曲線\(y=x^3\)上一點\(P\)有兩條切線與\(y=x^3\)相切，它們分別交\(x\)軸於點\(A\)與\(B\)，令銳角\(\angle APB=\theta\)，則\(tan \theta\)之最大值為何？
[解答]
有誤請指正，謝謝