2.
若數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+2a_{n-1}}\)，\(n\ge 2\)，\(n\in N\)，則\(a_n=\)
。(以\(n\)表示)
[提示]
\(\displaystyle \frac{1}{a_n}=\frac{1+2a_{n-1}}{a_{n-1}}=\frac{1}{a_{n-1}}+2\)
擷取部分內容
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1668&page=1#pid8732
1.什麼題目只要算循環節就好，什麼題目才要算出一般項？
2.不動點相同的話，我會算一般項嗎？
3.怎樣的分式遞迴數列是不能用這個方法的？
4.上面ichiban是從\( a_n \mapsto a_{n-1} \mapsto a_{n-2} \mapsto a_{n-4} \)，看出\( a_n=a_{n-4} \)數列4個一循環，但假如循環節若是質數你會遇到什麼問題？
5.歷屆試題考過哪些分式遞迴數列，你能不能整理出一份筆記？
回到這題若計算不動點\(\displaystyle x=\frac{x}{1+2x}\)，\(x+2x^2=x\)，\(x=0,0\)不動點相同而且是0，那要怎麼算
3.
\(\displaystyle S_n=\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}=\)
。
(我的教甄準備之路 裂項相消，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
求\( \displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2004}{2002!+2003!+2004!} \)的值。
(2004國際奧林匹克香港選拔賽)
[提示]
\( \displaystyle \frac{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}=\frac{k+2}{k!(1+k+1+(k+1)(k+2))}=\frac{k+2}{k!(k+2)^2}=\frac{1}{k!(k+2)}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{(k+2)-1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)
4.
設\(n\)為自然數，若\(\displaystyle C_0^n+\frac{1}{2}C_1^n+\frac{1}{3}C_2^n+\ldots+\frac{1}{n+1}C_n^n=\frac{4095}{n+1}\)，則\(n=\)
。
試求\(\displaystyle C_0^{21}+\frac{1}{2}C_1^{21}+\frac{1}{3}C_2^{21}+\frac{1}{4}C_3^{21}+\ldots+\frac{1}{22}C_{21}^{21}=\)
。
(100文華高中代理，weiye解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4636)
7.
甲、乙、丙、丁、戊等 5 人，每人都會洗碗，也會做飯，但每餐飯，做飯者不洗碗，某假日午、晚兩餐，做飯者非同一人，洗碗者也非同一人，問有
種情形。
107新竹女中代理，
https://math.pro/db/thread-2993-1-1.html
9.
有一種被稱作『1A2B』的猜數字益智遊戲﹒規則如下：
首先出題者由\(0,1,2,\ldots,9\)當中任取相異四個數字由左到右排成一列（0可以在最前面），讓猜題者去猜這組數字。每次猜完數字後出題者會給猜題者提示，提示的口訣為『\(mAnB\)』﹐其中\(mA\)表示所猜的數字當中有\(m\)個不但猜中了而且數字是在正確的位置，\(nB\)表示所猜的數字當中有\(n\)個猜中了但是數字的位置不正確，例如題目為7132，若猜題者猜1234，則提示『\(1A2B\)』，假使猜題者善用提示﹐請問他在第1次猜到『\(1A3B\)』且在第2次猜到『\(4A0B\)』的機率是
。
有一種被稱作『\(mAnB\)』的猜數字益智遊戲﹒規則如下：
首先出題者由\(0,1,2,\ldots,9\)當中任取相異四個數字由左到右排成一列（0可以在最前面），讓猜題者去猜這組數字，每次猜完數字後出題者會給猜題者提示，提示的口訣為『\(mAnB\)』﹐其中\(mA\)表示所猜的數字當中有\(m\)個不但猜中了而且數字是在正確的位置，\(nB\)表示所猜的數字當中有\(n\)個猜中了但是數字的位置不正確，例如題目為7132，若猜題者猜1234，則提示『\(1A2B\)』。
(1)猜題者在第1次就猜到『\(1A3B\)』的機率是
。
(2)假使猜題者善用提示﹐請問他在第1次猜到『\(1A3B\)』且在第2次猜到『\(4A0B\)』的機率
。
(98國立大里高中段考試題，
http://teacher.dali.tc.edu.tw/sh ... /one/098-1-1-3a.doc)
10.
\(A\)柱中有\(n\)個大小不同的圓盤由大而小往上堆疊，若要從\(A\)柱全部搬移至\(B\)柱，每次只能搬動一圓盤，且每次都必須先經中間柱（不可由\(A\)直接放入\(B\)）且大盤不可放在小盤之上，設共要搬動\(a_n\)次﹐若\(a_{n+1}=pa_n+k\)，求數對\((p,k)=\)
。
(100育成高中代理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1204&page=1#pid5400)
12.
矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=6\sqrt{2}\)，以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\)，則鋪色區域面積為
。
矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=3\sqrt{2}\)，以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\)，則鋪色區域面積為
。
(107新竹女中代理，
https://math.pro/db/thread-2993-1-1.html)
14.
\(n\in N\)，若\((1+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}\)，其中\(a_n,b_n\)為有理數，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\)
。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3470
18.
袋中有4紅球, 6白球今自袋中，每次取出一球，取出不放回，取完為止，則取球過程中，紅球個數不多於白球個數的機率為何？
袋中有4紅球，5白球，今自袋中每次取出一球，取出不放回，取完為止。取球過程中，紅球個數不多於白球個數之機率為
。
(97家齊女中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=792&page=2#pid14524)
19.
桃高實驗室針對800件血液樣本作檢驗，檢驗方式如下：隨機平分成100組，每組8件血液樣本，將同一組的樣本混合成一組樣本作一次檢驗。假設每一件血液樣本檢驗呈陽性機率都是0.2，且只要有一件血液樣本呈陽性反應，其混合的樣本也會呈陽性反應。當一組混合樣本檢驗結果呈陰性反應時，就不須再作細部檢驗，即該組只要一次檢驗即可。當檢驗結果呈陽性反應時，就必須重新將該組8件血液樣本逐一檢驗。依上述檢驗方式，此800件血液樣本檢驗次數的期望值為
。
針對900件血液樣本作檢驗，檢驗方式如下：隨機平分成100組，每組9件血液樣本，將同一組的樣本混合成一組樣本作一次檢驗。假設每一件血液樣本檢驗呈陽性的機率都是0.1，且只要有一件血液樣本呈陽性反應，其混合的樣本也會呈陽性反應。當一組混合樣本檢驗結果呈陰性反應時，就不須再作細部檢驗，即該組只要一次檢驗即可；而當檢驗結果呈陽性反應時，就必須重新將該組9件血液樣本逐一檢驗，此情況下總共需要10次的檢驗。依檢驗方式，此900件血液樣本檢驗次數之期望值為何？
(1)\(900(1-0.1)^9\) (2)\(900(1-0.9^9)\) (3)\(900(1-0.9^{10})\) (4)\(1000(1-0.9^9)\) (5)\(1000(1-0.9^{10})\)
(大學入學考試中心 學科能力測驗數學考科考試說明，
https://www.ceec.edu.tw/files/fi ... AE%9A%E7%A8%BF).pdf)
20.
從\(z^{2020}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為
。
(109中壢高中代理，happysad解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3339&page=1#pid21461)
從\(z^{2014}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為
。
(106松山工農代理，
https://math.pro/db/thread-2837-1-1.html)
(2014TRML個人賽，
https://math.pro/db/thread-2028-1-1.html)
