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回復 1# BambooLotus 的帖子

第 3 題
四位數 1000a + 100b + 10c + d 是 99 的倍數
10(a + c) + (b + d) 是 99 的倍數

由於各位數字相異
a + c = 9,b + d = 9
(a,c) = (1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(7,2)、(8,1)、(9,0)
(b,d) = (0,9)、 (1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(7,2)、(8,1)、(9,0)
每組 (a,c) 可和 8 組 (b,d) 搭配

所求機率 = (9 * 8) / (9 * 9 * 8 * 7) = 1 / 63

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-5-1 14:54 編輯 ]

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第 15 題
z = x + yi,-1 < x < 0,0 < y < 1
|z| = 1,x^2 + y^2 = 1

z^3 + z^2 + z + 1 = (z^2 + 1)(z + 1)

| z^2 + 1 |^2 = | (x^2 - y^2 + 1) + (2xy)i |^2 = (x^2 - y^2 + 1)^2 + (2xy)^2 = 4x^2
| z + 1 |^2 = | (x + 1) + (y)i |^2 = (x + 1)^2 + y^2 = 2x + 2

|z^3 + z^2 + z + 1| = √[4x^2 * (2x + 2)] = 2√2 * √(x^3 + x^2) ≦ 2√2 * √(4/27) = (4/9)√6

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第 8 題
P_0(2x_0,2y_0)、P_1(2x_1,2y_1)、P_2(2x_2,2y_2)、P_3(2x_3,2y_3)、P_4(2x_4,2y_4)
A(x_0 + x_1,y_0 + y_1)、B(x_1 + x_2,y_1 + y_2)、C(x_2 + x_3,y_2 + y_3)、D(x_3 + x_4,y_3 + y_4)

AC 中點 (-1/3,-2/3)
x_0 + x_1 + x_2 + x_3 = - 2/3
y_0 + y_1 + y_2 + y_3 = - 4/3

BD 中點 (8/3,10/3)
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16/3
y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 20/3

x_4 - x_0 = 16/3 - (-2/3) = 6
y_4 - y_0 = 20/3 - (-4/3) = 8

P_0P_4 = √[(2x_4 - 2x_0)^2 + (2y_4 - 2y_0)^2] = 20

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第 9 題
(1) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(2n - 1) - 1/(2n)
= [1 + 1/2 + ... + 1/(2n - 1) + 1/(2n)] - [1 + 1/2 + ... + 1/(n - 1) + 1/(n)]
= S_(2n) - S_n = ln2 + r_(2n) - r_n
當 n → ∞,所求為 ln2

(2) 1/(1 * 3) + 1/(2 * 5) + 1/(3 * 7) + ... + 1/[n(2n + 1)]
= 2/(2 * 3) + 2/(4 * 5) + 2/(6 * 7) + ... + 2/[2n(2n + 1)]
= 2{[(1/2 + 1/4 + ... + 1/(2n)] - [(1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n + 1)]}
= 2{S_n / 2 - [S_(2n + 1) - 1 - S_n / 2]}
= 2[S_n - S_(2n + 1) + 1]
= 2{ln[n / (2n + 1)] + r_n - r_(2n + 1) + 1]
當 n → ∞,所求為 2 - 2ln2

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回復 20# enlighten 的帖子

第 1 題
參考 https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d281/28109.pdf

a_n = 8/3 + (1/3)(-1/5)^(n - 2)

極限應是 8/3,不是 5/3

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