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110竹科實中

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1.
已知一單位圓圓\(O\),且\(\Delta ABC\)為圓\(O\)之內接正三角形。若\(P\)為圓\(O\)上一動點,則\(\overline{PA}\times\overline{PB}\times \overline{PC}\)的最大值為何?
連結有解答
(101武陵高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1371&page=1#pid5727\)

2.
已知集合\(S=\{\;1,2,3,\ldots,2021 \}\;\),試求:\(S\)的子集合中,元素和是奇數的集合有多少?

已知集合\(S=\{\;1,2,3,\ldots,2018 \}\;\)的子集合共有\(2^{2018}\)個。試求:
(1)\(S\)的子集合中,包含\(1,2,3,4,5\)中至少三個數的集合有多少個?
(2)\(S\)的子集合中,元素和是奇數的集合有多少個?
(107台灣師大申請入學筆試一試題,https://math.pro/db/thread-3090-1-1.html)

8.
已知一個等腰三角形\(ABC\),其中\(\overline{AB}=\overline{AC}=10\),\(\overline{BC}=2\sqrt{5}\),今依序在\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{AB}\)上取各邊中點\(D\)、\(E\)、\(F\),分別將\(\Delta AEF\)、\(\Delta BDF\)、\(\Delta CDE\)沿著\(\overline{EF}\)、\(\overline{DF}\)、\(\overline{DE}\)折起來,使\(A\)、\(B\)、\(C\)三點重合在\(P\)點形成一個四面體\(P-DEF\),則此四面體\(P-DEF\)的體積為   
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=1#pid1991

D、
已知\(\Delta ABC\)的面積是\(\displaystyle \frac{1}{4}\),其外接圓半徑為1,且\(a,b,c\)為\(\Delta ABC\)的三邊長,試證:\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)。
(高中數學競賽教程P136)

F、
在空間中有三條直線:\(L_1\):\(\cases{x=t \cr y=0\cr z=0},t\in R\),\(L_2\):\(\cases{x=k \cr y=\sqrt{3}k \cr z=0},k\in R\),\(L_3\):\(\cases{x=s \cr y=-\sqrt{3}s\cr z=0},s\in R\),以及三顆半徑為1的球,其球心分別為\(P\)、\(Q\)、\(R\),今使\(P\)在\(L_1\)上移動,\(Q\)在\(L_2\)上移動,\(R\)在\(L_3\)上移動,試問三顆球所經區域,其交集部分的體積為   

三個單位圓在三條線上移動,所交集的體積
不知道是不是這題
https://math.pro/db/thread-2927-1-1.html

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