計算2.
不妨設 a>=b>=c>0 , 再設 f(n)=a^n+b^n+c^n , m>=k>=t>=0
則因為 f(m+k)f(m-k)-f(m+t)f(m-t)
= (ab)^(m-k)*(a^(k+t)-b^(k+t))*(a^(k-t)-b^(k-t))
+(ac)^(m-k)*(a^(k+t)-c^(k+t))*(a^(k-t)-c^(k-t))
+(bc)^(m-k)*(b^(k+t)-c^(k+t))*(b^(k-t)-c^(k-t)) >=0
可知 f(m-t)f(m+t)<=f(m-k)f(m+k)
先取 m=3.5 ,k=3.5,t=0.5 後取 m=4 ,k=4,t=3 因為 a+b+c>=3* (3)ㄏ(abc)=3=a^0+b^0+c^0 , 所以可得
0<分母<=(a^0+b^0+c^0)(a^7+b^7+c^7)<=(a+b+c)(a^7+b^7+c^7)<=(a^0+b^0+c^0)(a^8+b^8+c^8) =3分子
所以原式=分子/分母>=1/3 , 故最小值=1/3
由上可知 分子由 f(8) 改為f(9),f(10),f(11) .......答案還是不會變的.
[ 本帖最後由 laylay 於 2021-4-28 15:37 編輯 ]
