發新話題
打印

110板橋高中

回復 2# bugmens 的帖子

最近發現網路上的計算機愈來愈厲害了 (還是我訊息落後了?)

看到是極限,就想丟給計算機算一下,順帶分享(宣傳)計算機的厲害

第 12 題. 計算機連結


其結果為


輸入時,有各種符號可以按或鍵盤輸入後,即時辨識轉成數學式 (支援 LaTeX code)

可以複製輸入好的式子和計算結果(白底)成 LaTeX code,下面式子都是複製出來的


\( \displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum ^n_{k=1}\frac{2}{n+k}\ln \left(\frac{k+n}{n}\right)\:\right) \)
\(\displaystyle \mathrm{The\:definite\:integral\:is\:defined\:as:\:}\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{i=1}^n\left(f\left(c_i\right)\Delta \:x\right)\right)=\int _a^bf\left(x\right)dx \)

\( \mathrm{Where\:}Δx=\frac{b-a}{n},\:\mathrm{and}\:c_i=a+Δx⋅i \)
\( =\ln ^2\left(2\right) \)
網頁方程式編輯 imatheq

TOP

回復 28# jackyxul4 的帖子

填充 7. 您說的是曲線繞軸轉一圈,是某個旋轉體表面,故其體積為 0。
而原題文字:設曲線 \( \Gamma \) 的方程式為 ...,且,\( R \) 為曲線 \( \Gamma \) 所圍區域。若以直線 \( L:\: x + y =1 \) 為軸,旋轉 \( R \) ...。
轉的是 區域 \(R \),轉出來是實心的。

話說回來,您的擔心,也是老師們在出題的時候要小心用字遣詞,不要讓學生養成超譯題意的習慣。
網頁方程式編輯 imatheq

TOP

回復 27# PDEMAN 的帖子

計2. 您的式子好像沒有用到 \( abc=1 \)
是不需要?
還是其實在 \( a^5 + b^5 + c^5 \ge a^4 + b^4 + c^4 \) 的沒有寫出來的細節之中?
網頁方程式編輯 imatheq

TOP

回復 35# PDEMAN 的帖子

計 2. 其實不用把前回的拿掉,那個小洞是可以補起來的

同 \(3({a^8} + {b^8} + {c^8}) - ({a^5} + {b^5} + {c^5})({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge 0\) 證明的方法,

可得 \(3({a^5} + {b^5} + {c^5}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4})(a + b + c) \ge 0\)
\( \Rightarrow {a^5} + {b^5} + {c^5} \ge \frac{{a + b + c}}{3} \cdot ({a^4} + {b^4} + {c^4})\)

再由算幾不等式 \(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}} = 1\) 可得 \( {a^5} + {b^5} + {c^5} \ge ({a^4} + {b^4} + {c^4})\),

故 \(3({a^5} + {b^5} + {c^5}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4})({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge 3({a^8} + {b^8} + {c^8}) - ({a^5} + {b^5} + {c^5})({a^3} + {b^3} + {c^3})\)

另外填充 7. 我眼中的圖是這樣,曲線 \( \Gamma \) 上的點要同時滿足兩個式子,所以僅有圖中實線部分

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:26 編輯 ]
網頁方程式編輯 imatheq

TOP

回復 34# math1 的帖子

填充 2. 數字醜、算式長...很難算對的感覺
\( AC \) 的一個方向向量 \(\mathop u\limits^ \rightharpoonup = (1,2, - 2)\)
\( GE \)  的一個方向向量 \(\mathop v\limits^ \rightharpoonup = ( - 3,4,1)\)
\(\mathop u\limits^ \rightharpoonup \times \mathop v\limits^ \rightharpoonup = (10,5,10) = 5(2,1,2)\)
平面 \( ABCD \) 的一個法向 \(\mathop n\limits^ \rightharpoonup = (2,1,2)\)
平面 \( ABCD \) 的方程式 \(2x + y + 2z = - 7\),
直線 \( GE \) 上,一點 \(I(2, - 2,0)\),平面 \( EFGH \) 的方程式 \(2x + y + 2z = 2\)

令點 H 的坐標為 \(H( - 4 + 2t, - 1 + t,1 + 2t)\) 代入平面 \( EFGH \) 的方程式,可得 \(t = 1\), \(H( - 2,0,3)\), H 到平面 \( ABCD \) 的距離為 3。

令點 J 為 \(\overline {HF} \) 的中點,則 J 的坐標可令作 \(J( - 2 + s,2s,3 - 2s)\) ( ∵\( HJ//AC \) )
將 J 代入 \( GE \) 的比例式,解得\(s = 1\)。

\(\Delta GJH\) 中,\(\overline {GJ} = \overline {JH} \),\(\Delta GJH = \frac{1}{2}|\mathop {GJ}\limits^ \rightharpoonup \times \mathop {HJ}\limits^ \rightharpoonup | = \frac{1}{2} {\overline {GJ} \cdot \overline {JH} } \cdot \frac{ |\mathop u\limits^ \rightharpoonup \times \mathop v\limits^ \rightharpoonup |}{{\left| {\mathop u\limits^ \rightharpoonup } \right| \cdot \left| {\mathop v\limits^ \rightharpoonup } \right|}} = \frac{{45\sqrt {26} }}{{52}}\)。

長方形 \( EFGH \) 面積 \( = 4 \cdot \Delta GJH = \frac{{45\sqrt {26} }}{{13}}\)。
所求長方體體積 \( = \frac{{45\sqrt {26} }}{{13}} \times 3 = \frac{{135\sqrt {26} }}{{13}}\)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:30 編輯 ]
網頁方程式編輯 imatheq

TOP

回復 34# math1 的帖子

填充 6. 認真討論一下各種情形
單看一色球,球數分布在兩袋的情形有 (5,5), (3,7), (1,9), (2,8), (4,6) 及兩數交換共9種情形。
(1)        三色皆各 5 個,有1種放法 \({5^3} = {5^3}\)。
(2)        恰一色 5個,有 \(3 \times 8 = 24\) ( \( 5x(10-x) = 5(10-x)x \)

接下就是檢查沒有其它可能,注意到如果有 (x,10-x), (10-x,x),那第三色僅能 (5,5) 已在上方數過。再利用質因數的特性,就可以說明以下,不會發生滿足題意的乘積相等。

(3)        沒有任何顏色 5個,
某色球有 7 個的話,另一袋也必某色有 7 個,就會是 (2) 的情況。
故(3)不會有某色球分布為 (3,7) 或 (7,3)。

某色球有 9 個的話,另一袋顏色球數只能用 \( 6 \times 6 \) 配出 9 的倍數(不能用 9,否則就是(2)的情況)
餘下 (2,8), (4,6), (8,2), (6,4),同樣地論證也可以得到無法搭配出乘積相等。

故所求為 \(1 + 24 = 25\)
網頁方程式編輯 imatheq

TOP

回復 54# L.Y. 的帖子

一般都是這麼做,但其中有一些小細節,不是很確定、明白,
借此順帶提出,看看有沒有什麼好答案。
這樣的代換,會保證原本每個根的三次方,都是新的方程式的根,
但應該不保證新的方程式的 12 個根就是原 12 個根的三次方

裡面牽扯到的是重根問題,以下舉一個例子,比較容易明白我想說什麼

例如:方程式 \( x^2 = 4 \) 的兩根為 \( x = -2, 2 \)
若要找以此兩個根的平方為根的二次方程式,
仿造上面將等式的左右兩側平方,則得 \( (x^2)^2 = 16 \)
再把 \( x^2 \) 以 \( y \) 代換掉,則得方程式 \( y^2 = 16 \)
我們可以看到,\( y = 2^2 = (-2)^2 = 4 \) 都是新方程式的根,
但 \( y^2 = 16 \) 的解為 \( y = 4, -4 \),其中 \( -4 \) 並不是原 x 方程式根的平方。
也就是說 \( y^2 = 16 \) 並不是我們要找的方程式。

重做一次代換,先將 4 移項,\( (x^2 -4)^2 =0 \) 代換之後寫成 \( (y-4)^2 = 0 \)
新方程式 y 的兩根為 4, 4。這組就是正確的達到我們的要求了。

以上兩個代換,還有 54# 的代換,有一些小細節上的不同,
哪個環節的不同,造就了結果的差異,如何完整的說明 #54 的結果必然正確?
網頁方程式編輯 imatheq

TOP

發新話題