第 5 題
n^3 的個位為 4，則 n 的個位必為 4
n = 10a + 4
(10a + 4)^3 = 1000a^3 + 1200a^2 + 480a + 64
a = 1 時，n 最小為 14
a = 6 時，n 次小為 64

證 f(x + 4) = f(x) 即可

最後答案是 (8/3)√2

第 3 題 另解
a_n 表示 n 次投擲中，反面未曾出現 2 次以上的情形數

若第 1 次出現正面，接下來的 (n - 1) 次，反面未曾出現 2 次以上的情形數 = a_(n - 1)
若第 1 次出現反面，第 2 次出現正面，接下來的 (n - 2) 次，反面未曾出現 2 次以上的情形數 = a_(n - 2)
故 a_n = a_(n - 1) + a_(n - 2)

易知 a_1 = 2，a_2 = 3
所求 = a_10 / 2^10 = 9/64

第 7 題
圖應是這樣
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3298

其實把第一式改成 ≧ 1，直接定義區域 R 就好了

題目說用曲線去圍，也可以解讀成 R 是 4 個 1/4 圓

第 4 題
3(2^x + 1) = y^2 + 2y = y(y + 2)
3(2^x + 1) 為奇數，y 為奇數，令 y = 2k + 1

3(2^x + 1) = (2k + 1)(2k + 3)
3 * 2^(x - 2) = k(k + 2)
k = 1，x = 2，y = 3
k = 4，x = 5，y = 9
k = 6，x = 6，y = 13

當 k ≧ 7
3 * 2^(x - 2) ≧ 3 * 2^5 無法分解成兩個差 2 的整數相乘

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-27 18:54 編輯 ]

計算 1 (2)
logx (以 3 為底) = -1/3 ，在 (0，1) 有一解 x_1
由於圖形對稱於 x = 1，所以在 (1，2) 也有一解 x_2
(x_1 + x_2) / 2 = 1
x_1 + x_2 = 2

由於是週期為 4 的函數
所以在 (4，6) 也有兩根 x_3 和 x_4
x_3 + x_4 = 10

在 (8，10) 也有兩根 x_5 和 x_6
x_5 + x_6 = 18

所求 = 2 + 10 + 18 = 30

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-29 12:05 編輯 ]

計算第 4 題
(2) 用分部積分可得 ∫f(x)dx = 2 √x * lnx - 4√x + C
從 1 積到 e^2 是 4

(3) 所求 = π∫[(lnx)^2 / x]dx (從 1 積到 e^2) = 8/3

由於要分成兩個差 2 的整數相乘，那兩個數要愈接近愈好

3 * 2^5，分成最接近的兩數是 3 * 2^2 和 2^3
兩個數差 2^2 * (3 - 2) = 4

3 * 2^6，分成最接近的兩數是 3 * 2^2 和 2^4
兩個數差 2^2 * (2^2 - 3) = 4

其餘的比照辦理