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110臺南女中

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回復 1# Superconan 的帖子

填充 19. 公告答案 24,應為 48,以下為算式。
設空間中三向量 \( \vec{a} \)、\( \vec{b} \)、\( \vec{c} \)所展開的四面體體積為 \( V \),\( S= \{P∣\vec{OP}= \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{c}  \),\( |\alpha| \le 1 \), \( |\alpha+\beta| \le 1 \) , \( |\alpha+\beta+\gamma| \le1 \} \) 的體積為 \( kV \),則實數 \( k \) 的值為__________。

解. 考慮 \( e = \alpha \), \( f = \alpha +\beta \), \( g = \alpha + \beta + \gamma \)
\( F(e,f,g) = \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{c} = e\vec{a}+ (f-e) \vec{b}+ (g-f) \vec{c} \)

\( J_{F}(e,f,g) = \begin{bmatrix}\vec{a}-\vec{b}\\
\vec{b}-\vec{c}\\
\vec{c}
\end{bmatrix}^{T} \)

\( kv = |\int_{S}dxdydz| =\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}| \begin{vmatrix}\vec{a}-\vec{b}\\
\vec{b}-\vec{c}\\
\vec{c}
\end{vmatrix}|dedfdg=|\begin{vmatrix}\vec{a}\\
\vec{b}\\
\vec{c}
\end{vmatrix}| \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}dedfdg = 6V\times8 = 48V \)
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回復 6# koeagle 的帖子

填充 10. 算出來,還是和答案不同,空間感不是很好,如有錯誤,還請指正

平面 H 和平面 ABC 交於 \( \overline{BC'} \),其中 \( C'(0,3,0) \)
平面 H 和平面 DEF 交於 \( \overline{E'F'} \),其中 \( E'(\frac23,\frac13,2) \), \( F'(0,1,2) \)
平面 H 和平面 BCFE 交於 \( \overline{BC''} \),其中 \( C''(0,2,1) \)
平面 H 和直線 AD 交於 \( D'(0,0,3) \),

圖形如下參考


所求體積 = 角錐 ABC'D' - 角錐 DE'F'D' - 角錐 CC'C''B (皆體積)

\( \frac{1}{6} |\begin{vmatrix}2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{vmatrix}| - \frac{1}{6} |\begin{vmatrix}\frac23 & \frac13 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}| - \frac{1}{6} |\begin{vmatrix}0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
2 & -1 & 0
\end{vmatrix}| = 3-\frac{1}{9}-\frac{3}{9} = \frac{23}{9} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-20 21:31 編輯 ]
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回復 13# craig100 的帖子

填充 6. 根與係數關係知 \( a_n =r_n +r_{n+1} \)
若 \( \sum r_n \) 收斂,則 \( \sum a_n \) 也會收斂。
反之,若 \( \sum a_n \) 發散,則 \( \sum r_n \) 也會發散。

再檢查一下細節吧,\( a_n, r_n \) 都和等比相關,級數和應當是會收斂的
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回復 16# chihming 的帖子

填充1. \(k,k+1 \) 代入相除
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回復 28# mean4136 的帖子

看到更正了,謝謝,另外第 10 題的話,我再算算。

題外話,順帶查一下公告,找到有趣公告

18-11001成績公告及申訴說明
截取部分內文如下:
「2. 數學科筆試基本分數提高30分:因本次數學科筆試試題偏難且題數多,應考人平均分數為11.62分」

這應該是為了擊敗從老師
(註:簡章規定:數學科筆試佔總成績 30%、總成績未達75分者不予錄取。)
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回復 32# satsuki931000 的帖子

21. 平均值,您忘了除以 2
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回復 43# thepiano 的帖子

填充 7. 這題算是有點難的考古題吧,我的印象之中還沒有出現太多次,還是印象太久遠了。補上兩題考古題,以及一串舊的討論串

A 在方格的左下角,B 在方格的右上角,各有 9 個→與↑ ,求 A 到 B 走捷徑轉彎數之期望值。     (99高雄高中)
答案在這,有一串討論 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1441&page=5#pid12007

有 3 個「+」,4 個「-」,排成一列。若一列中一個「+-」或一個「-+」我們說:有一個「變號」。問 3 個「+」,4 個「-」排成一列,變號個數的期望值?(99彰化女中)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-21 09:26 編輯 ]
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回復 54# math1 的帖子

第 19 題,我換個方法順帶畫個圖
如圖 \(\mathop {OA}\limits^ \rightharpoonup = - \mathop {OE}\limits^ \rightharpoonup = \mathop a\limits^ \rightharpoonup \), \(\mathop {FA}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {ED}\limits^ \rightharpoonup = 2\mathop b\limits^ \rightharpoonup \), \(\mathop {GA}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {HD}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {FI}\limits^ \rightharpoonup = \mathop {EJ}\limits^ \rightharpoonup = 2\mathop c\limits^ \rightharpoonup \)

滿足\(|\alpha | \le 1\), \(|\alpha + \beta | \le 1\), \(\mathop {OP}\limits^ \rightharpoonup = \alpha \mathop a\limits^ \rightharpoonup + \beta \mathop b\limits^ \rightharpoonup \),點 P 所形成圖形為平行四邊形 \(ADEF\),其中 \(\overline {AD} ,\overline {EF} \) 滿足 \(\alpha + \beta = 1, - 1\),平行的四邊形內,與\(\overline {AD} \)平行的線段亦滿足 \(\alpha + \beta \) 為常數(在線段上為常數)。

又題意中,\(|\alpha + \beta + \gamma | \le 1\),因此 \( - (\alpha + \beta ) - 1 \le \gamma \le - (\alpha + \beta ) + 1\),故滿足題意之點 P 所形成的圖形為平行六面體 \(ADJI - GHEF\)

所求體積 \( = |\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {AD}\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop {AI}\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop {AG}\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)|\) \( = |\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2\mathop a\limits^ \rightharpoonup + 2\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{-2\mathop b\limits^ \rightharpoonup + 2\mathop c\limits^ \rightharpoonup }&{ - 2\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)|\) \( = 8|\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)| = 48\)

註:以上向量,皆視作 \( 3 \times 1 \) 的矩陣

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-25 21:52 編輯 ]
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回復 54# math1 的帖子

計算 3. 自己重寫,沒有那樣令 \( x \),前半部不重要,紅字的部分應該才是重點。

令 \(f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{99} {[{2^k}x]} \),則\(f(x)\)為遞增函數。
對於任意整數 n, \(f(x + n) = f(n) + f(x)\), \(f(n) = n \cdot ({2^{100}} - 1) \)。(修正原兩個 k 混用,表達錯誤)

設 \({x_0}\) 為滿足題意之實數。
\(f({2^{134}}) = {2^{234}} - {2^{134}} < {2^{234}}\),
令 \({x_1} = {x_0} - {2^{134}}\),則 \({x_1}\) 為最小的實數滿足  \(f({x_1}) = {2^{134}}\)。

而 \(f({2^{34}}) = {2^{134}} - {2^{34}} < {2^{134}}\),
令 \({x_2} = {x_1} - {2^{34}}\),則 \({x_2}\) 為最小的實數滿足\(f({x_2}) = {2^{34}}\),

而 \(f({2^{ - 66}}) = \sum\limits_{k = 0}^{99} {[{2^{k - 66}}] = {2^{34}} - 1} \)。

設 \(0 < x \le {2^{ - 99}}\),則 \(0 < {2^{ - 66}} + x < {2^{ - 65}}\),
                        當 \(0 \le k \le 65\) 時,\([{2^k} \cdot ({2^{ - 66}} + x)] = 0 = [{2^k}         \cdot ({2^{ - 66}})]\)
                        當 \(66 \le k \le 98\) 時,\([{2^k} \cdot ({2^{ - 66}} + x)] = {2^{k - 66}} + [{2^k}x] = [{2^k} \cdot ({2^{ - 66}})]\)
                        \([{2^{99}}({2^{ - 66}} + x)] = \left\{ \begin{array}{l}{2^{33}} = [{2^{99}} \cdot ({2^{ - 66}})]{\rm{, if }}x < {2^{ - 99}}\\{2^{33}} + 1{\rm{, if }}x = {2^{ - 99}}\end{array} \right.\)


因此有 \({x_2} = {2^{ - 66}} + {2^{ - 99}}\) 為最小實數滿足 \(f({x_2}) = {2^{34}}\),故所求 \({x_0} = {2^{134}} + {2^{34}} + {2^{ - 66}} + {2^{ - 99}}\)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:41 編輯 ]
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回復 10# tsusy 的帖子

計 3. 55# \( f(k) \) 我的記號混用了,sorry,沒注意到原本的 Sigma 也是用 k,兩個 k 要用不同的記號表示才可以。
對於任意整數 n, \(f(x + n) = f(n) + f(x)\), \(f(n) = n \cdot ({2^{100}} - 1) \)。

填充 7. 原 10# 處,代換間的 Jacobian Matrix 實際上固定的,也就是說它實際上是個線性變換
(其實應該在算 Jacobian Matrix 之前,就知道了)
所以我們也會用線性變換來處理的方法:

令集合 \({S_0} = \{ (\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mid |\alpha | \le 1,|\alpha + \beta | \le 1,|\alpha + \beta + \gamma | \le 1\} \), \({S_1} = \{ (u,v,w)^T \mid |u| \le 1,|v| \le 1,|w| \le 1\} \)
以下將 \({\mathbb{R}^3}\) 及 \({\mathbb{R}^3}\) 中向量皆記為 \(3 \times 1\) 階的矩陣。\(V_{S_0},V_{S_1}, V_S\) 分別表示 \({S_0},{S_1},S\) 的體積。

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{T_1}:}&{{S_0} \to {\mathbb{R}^3},}\\{}&{(\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mapsto {{ {\alpha \mathop a\limits^ \rightharpoonup + \beta \mathop b\limits^ \rightharpoonup + \gamma \mathop c\limits^ \rightharpoonup } }}.}\end{array} \)

以上關係可表示為 \({ {\alpha \mathop a\limits^ \rightharpoonup + \beta \mathop b\limits^ \rightharpoonup + \gamma \mathop c\limits^ \rightharpoonup } } = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \\\gamma \end{array}} \right) \),

因此線性變換 \({T_1}\) 將 \({S_0}\) 映射至 \(S\),故有 \({V_S} = |\det (\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop a\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop b\limits^ \rightharpoonup }&{\mathop c\limits^ \rightharpoonup }\end{array})|{V_{{S_0}}} = 6V \cdot {V_{{S_0}}} \)。

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{T_2}:}&{{S_0} \to {\mathbb{R}^3},}\\{}&{(\alpha ,\beta ,\gamma )^T \mapsto (\alpha ,\alpha + \beta ,\alpha + \beta + \gamma )^T.}\end{array} \)

以上關係可表示為 \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\{\alpha + \beta }\\{\alpha + \beta + \gamma }\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \\\gamma \end{array}} \right) \),

因此線性變換 \({T_2}\) 將 \({S_0}\) 映射至 \({S_1}\),故有 \({V_{{S_1}}} = |\det (\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}} \right))|{V_{{S_0}}} = {V_{{S_0}}} \)。
而 \({V_{{S_1}}} = {2^3} = 8\),故 \({V_S} = 6V \cdot 8 = 48V \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:41 編輯 ]
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