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106彰師大個人申請試題

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106彰師大個人申請試題

想跟大家請教一下
第一試的2.3.7
第二試的2.4.5
謝謝分享

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106彰師大個人申請試題.pdf (237.31 KB)

2021-4-18 13:46, 下載次數: 360

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回復 1# maddux0706 的帖子

第一試 第2題

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回復 1# maddux0706 的帖子

第二試,第5題
注意圓心必在 CD 直線上,令圓心為 O,半徑為 r
若半徑 \( r<b \),則在三角形 \( \triangle ODA \) 中,餘弦定理有

\( r^{2}=(b-r)^{2}+a^{2}-2(b-r)a\cos(\pi-\frac{\theta}{2}) \)

\( \Rightarrow r=\frac{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\frac{\theta}{2}}{2(a\cos\frac{\theta}{2}+b)} \)

若 \( r >b \),則 \( \angle ADO = \frac{\theta}{2} \),由餘弦定理可得半徑的表示式同上。

另外,注意到 \( r=b \) 時, \( r=b=a \),以上的表示仍然成立。
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回復 1# maddux0706 的帖子

第二試,第 4 題,
注意到 \( n \log_2 n > 0\)

因此欲證不等式等價於 \( n\log_{2}(n+1)<(n+1)\log_{2}n\Leftrightarrow(n+1)^{n}<n^{n+1}\Leftrightarrow(1+\frac{1}{n})^{n}<n \)

而 \( (1+\frac{1}{n})^{n} \) 由二項式定理展開,並估計(細節略)可得 \( (1+\frac{1}{n})^{n} < 3 \)

因此,當正整數 \( n >2 \) 時,\( (1+\frac{1}{n})^{n} < 3 \) 恆成立,故原不等式恆成立。
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回復 1# maddux0706 的帖子

第二試,第 2 題
因首項係數皆 1,且 f, g 的次數相差 1,故 \( f(x) \) 除以 \( g(x) \) 所得之商式可表示為 \( x+a \)
令 \( g(x) \) 除以 \( h(x) \) 的商式為 \( q(x) \),則由除法原理得

\( f(x)=(x+a)g(x)+2x^{3}-5x^{2}+5x+4 = +a)q(x)h(x)+(x+a)s(x)+2x^{3}-5x^{2}+5x+4 \)

由已知 \( s(x) \) 的次數少於 3,可知 \( (x+a)s(x)+2x^{3}-5x^{2}+5x+4 \) 即為 \( f(x) \) 除以 \( h(x) \) 所得之餘式,即為 0。

因此 \( -(x+a)s(x) = 2x^{3}-5x^{2}+5x+4 \)

分解三次式得 \( 2x^{3}-5x^{2}+5x+4 = (2x+1)(x^{2}-3x+4) \)

故 \( s(x) = -2x^2 + 6x - 8 \)
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回復 1# maddux0706 的帖子

第一試 第3題

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回復 6# Lopez 的帖子

第一試,第 3 題,
我的解讀是 \( A, B \) 為兩定點, \( a, b \) 之值為定值。
否則,如果 \( a, b \) 可用 \( c \) 表示,那這樣可能為無限多解

以下,以 \( A, B \) 為定點作前題:
\( \vec{AB} = (1,a-1,b-1) \)
\( \vec{n} = (1+c,1-2c,1-c) \)

由 AB 在 E 上的投影長為定值,知 \( \vec{AB} \) 在 \( \vec{n} \) 上的正射影長亦為定值。

故 \( |\frac{\vec{AB}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}|=|\frac{(4-2a-b)c+a+b-1}{\sqrt{6c^{2}-4c+3}}| \) 為定值。

若此定值非 0,將上式平方後,可整理得到 \( 6c^{2}-4c+3=(uc+v)^{2} \)

與二次式 \( 6c^{2}-4c+3 \) 的判別式 \( (-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 \neq 0 \) 矛盾。

故該定值為 0,因此 \( (4-2a-b)c+a+b-1 = 0 \) 對任意 \( c \)

\( \Rightarrow\begin{cases}
2a+b & =4\\
a+b & =1
\end{cases} \Rightarrow a=3, b=-2 \)
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回復 1# maddux0706 的帖子

第一試 第7題


[ 本帖最後由 Lopez 於 2021-4-19 10:32 編輯 ]

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