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110高雄女中

7.
小萱從半徑為6,圓心角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)的扇形,金屬材料中剪出一個長方形\(PQRS\),且\(\overline{PQ}\)與\(∠AOB\)的平分線\(\overline{OC}\)平行,若將長方形\(PQRS\)彎曲,使\(\overline{PQ}\)與\(\overline{RS}\)重合焊接成為圓柱的側面,則當圓柱側面的面積最小時,試求此圓柱的體積。(假設此圓柱有上下底面)

四邊形\(ABCD\)是內接於一扇形的正方形,頂點\(A\)、\(D\)分別在扇形的兩半徑上,頂點\(B\)、\(C\)在扇形的弧上,而\(M\)是扇形的弧中點。設扇形的半徑為\(r\),而圓心角\(∠AOD=\theta\)是一銳角,則正方形\(ABCD\)的面積為   。(以\(r\)與\(\theta\)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二試題,https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)

3條直線\(L_1,L_2,L_3\),斜率\(\displaystyle m_1=\frac{1}{3},m_2=\frac{4}{5},m_3=-\frac{1}{4}\),且\(L_1\)被\(L_2,L_3\)截出線段90,則圍成\(\Delta\)面積為何?

坐標平面上有三條直線\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\),其中\(L\)的斜率為\(\displaystyle \frac{1}{4}\),\(L_1\)、\(L_2\)的斜率分別為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)、\(\displaystyle -\frac{3}{4}\)。已知\(L\)被\(L_1\)、\(L_2\)所截出的線段長為51,則\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)所決定的三角形的面積為   
(108松山工農,https://math.pro/db/thread-3145-1-1.html)

12.
令\(a_n\)為\(\sqrt{n}\)最接近的整數,求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2000}a_n\)。

類似題
設\(a_n\)表示與\(\sqrt{n}\)最接近的整數(\(n\)為正整數),試求\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{2012}}。\)
(建中通訊解題第97題,連結已失效h ttp://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37)

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