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12.
設\(a,b,c\)為三相異之整數，試證：不存在一整係數多項式\(f(x)\)同時滿足\(f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a\)。
[解答]
引理：設 \( y, z \) 為兩相異整數，若 \( f(x) \) 為整係數多項式，則 \( y-z \mid f(y) - f(z) \)
說明：透過 \( y^n - z^n \) 的因式分解，可證明引理。
歸謬地假設，存在整係數多項式 \( f(x) \) 滿足 \( f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a \)。
由引理得 \( b-a\mid c-b, c-b\mid a-c, a-c\mid b-a \)
由以上整除關係可得 \( b-a, c-b, a-c \) 為三個互相整除之非 0 整數
因此 \( |b-a| = |c-b| = |a-c| \)，因 \( a,b,c 相異 \)，討論絕對值的等式可得
\( b-a = c-b = a-c \)，又 \( (b-a) + (c-b) + (a-c) = 0\)
因此 \( 0=b-a = c-b = a-c \)，與 \( a,b,c 相異 \) 矛盾。
故假設錯誤，而不存在整係數多項式 \( f(x) \) 滿足 \( f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a \)
