96高雄中學

第8題
已知\(P\)為圖形\(y=\sqrt{x^2+2}\)上一點，令\(A,B\)兩點坐標分別為\((2,0)\)或\((0,-2)\)，求\(\overline{PA}+\overline{PB}\)之最小值。
[解答]
\( y = \sqrt{x^2 + 2} \)為雙曲線\( \frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} = 1 \)的一支，焦點\( F_{1} (0,2) \; , \; F_{2} (0,-2) = B \)

由雙曲線定義可知：\( \overline{PB} - \overline{PF_{1}} = 2a = 2\sqrt{2} \)

\( \overline{PA} + \overline{PB} = \overline{PA} + \overline{PF_{1}} + 2\sqrt{2} \geq \overline{AF_{1}} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)。