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2017APMO初選考試

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印象中是某年 APMO 初選,建議補上年份,方便後人查閱

設 \( c>a \),則 \( 0 < c - a < c \),又 \( b \mid c -a \),故 \( b < c \)
因此 \( c \) 是三質數之中最大者,

而 \( -2c < -2a < 7b - 2a < 7b < 7c \),又 \(  c \mid 7b - 2a \),故 \( 7b - 2a = -c, 0, c, 2c, 3c, 4c, 5c \) 或 \( 6c \)
令 \( 7b - 2a =kc \),其中 \( -1 \leq k \leq 6 \) 且 \( k \in \mathbb Z \)

\( b \mid a-c \Rightarrow b \mid k(a-c) \)
而 \( k(a-c) =(k+2)a - 7b \),又 \( a,b,c \) 為相異質數,故 \( b \mid k+2 \)

\( a \mid 3b-c \Rightarrow b \mid k(3b-c) \)
而 \( k(3b-c) =2a + (3k-7)b \),又 \( a,b,c \) 為相異質數,故 \( a \mid 3k-7 \)

把所有的 \( k = -1, 0, 1, \ldots, 6 \) 皆代入,即可找出 \( c>a \) 條件下的所有解。
但題意有給 \( 20 < c <80 \),可利用此條件快速判斷

\( b \mid k+2 \)、 \( -1 \leq k \leq 6 \)、\( b \) 為質數,可得 \( b = 2, 3, 5, 7 \Rightarrow b\leq 7 \)
因此 \( kc = 7b-2a < 49 \Rightarrow k\leq 2 \)
僅需檢查 \( k = -1, 0, 1, 2 \),可得 \( k =0 \) 時,\( (a,b,c,) = (7,2,41) \)

至於 \( c<a \) 的情況,方法相同,此類情況無解,細節您可以再試試
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