第4題
如右圖，它是由四個全等地直角三角形與一個小正方形所排成一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為\(\theta\)，大正方形的面積為1，小正方形的面積為\(\displaystyle \frac{1}{16}\)，則\(cos^3 \theta-sin^3 \theta=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & \overline{AB}=1,\overline{EF}=\frac{1}{4},\overline{AE}=\overline{BF}=x,\overline{BE}=x+\frac{1}{4} \\
& {{x}^{2}}+{{\left( x+\frac{1}{4} \right)}^{2}}=1 \\
& x=\frac{\sqrt{31}-1}{8} \\
& \sin \theta =\frac{\sqrt{31}-1}{8},\cos \theta =\frac{\sqrt{31}+1}{8} \\
& \cdots \cdots  \\
\end{align}\)

第6題
設三次方程式\(x^3+ax^2+bx+8=0\)的實數根為\(\alpha,\beta,\gamma\)，且\(\alpha<\beta<\gamma\)。若數列\(\alpha,\beta,\gamma\)成等差數列，且\(\beta,\alpha,\gamma\)成等比數列，則\(b=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & {{\alpha }^{2}}=\beta \gamma  \\
& \alpha \beta \gamma =-8 \\
& {{\alpha }^{3}}=-8 \\
& \alpha =-2 \\
& \beta \gamma =4 \\
&  \\
& \beta =-2+d,\gamma =-2+2d \\
& \left( -2+d \right)\left( -2+2d \right)=4 \\
& d=3 \\
& \beta =1,\gamma =4 \\
& ...... \\
\end{align}\)