回復 5# satsuki931000 的帖子
填充11.
設函數\(f(x)\)滿足:
(1)對於\(0\le x_1<x_2\le 1\),有\(f(x_1)\le f(x_2)\)
(2)\(f(0)=0\)
(3)\(\displaystyle f(\frac{x}{3})=\frac{f(x)}{2}\)
(4)\(f(1-x)=1-f(x)\)
則\(\displaystyle f(\frac{109}{2020})=\) 。
[解答]
由題意中的條件可知
\( f(1)=f(1-0)=1-f(0)=1 \)
\( f(\frac{1}{3})=\frac{1}{2}\cdot f(1)=\frac{1}{2} \)
\( f(\frac{1}{2})=f(1-\frac{1}{2})=1-f(\frac{1}{2}) \Rightarrow f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2} \)
再由遞增得”若 \( \frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2} \),則 \( f(x)=\frac{1}{2} \)"
\( f(\frac{109}{2020})=\frac{1}{2}f(\frac{327}{2020})=\frac{1}{4}f(\frac{981}{2020})=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \)
類題 105北一區(花蓮高中)學科能力競賽
(出處 7/23 補充,今天再看,突然想起來了,這好像是 Cantor function。Google 一下,果然真的是啊!)
已知函數 \( f(x) \) 滿足下列性質
(a) 若 \( x_{1}\leq x_{2} \),則 \( f(x_{1})\leq f(x_{2}) \)
(b) \( f(1-x)=1-f(x) \)
(c) \( f(5x)=2f(x) \),
則 (1) 求 \( f(0) \), \( f(1) \), \( f(\frac{1}{5}) \), \( f(\frac{4}{5}) \) 的值。
(2) 求 \( f(x)=\frac{1}{2} \) 的解集合。
(3) 求 \( f(11.15) \) 及 \( f(\frac{1}{2016}) \) 的值。
其中最有意思的應該是第(2) 解集合,從(1)的結果,不難猜到是 \( [ \frac15, \frac45 ] \)
但有意思的就是再多一點點或少一點點函數值就不是這樣了的論證
[ 本帖最後由 tsusy 於 2020-7-23 10:20 編輯 ]