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109文華高中第二次(代理)

回復 5# satsuki931000 的帖子

填充1.
設函數\(f(x)\),已知\(f(2x)<0\)共有11個整數解,\(f(2x+5)<0\)共有16個整數解,則\(f(x)<0\)的整數解個數為   個。
[解答]
由題可知,偶數解有11個,奇數解有16個,故整數解共有27個
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回復 5# satsuki931000 的帖子

填充11.
設函數\(f(x)\)滿足:
(1)對於\(0\le x_1<x_2\le 1\),有\(f(x_1)\le f(x_2)\)
(2)\(f(0)=0\)
(3)\(\displaystyle f(\frac{x}{3})=\frac{f(x)}{2}\)
(4)\(f(1-x)=1-f(x)\)
則\(\displaystyle f(\frac{109}{2020})=\)   
[解答]
由題意中的條件可知

\( f(1)=f(1-0)=1-f(0)=1 \)

\( f(\frac{1}{3})=\frac{1}{2}\cdot f(1)=\frac{1}{2} \)

\( f(\frac{1}{2})=f(1-\frac{1}{2})=1-f(\frac{1}{2}) \Rightarrow f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2} \)

再由遞增得”若 \( \frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2} \),則 \( f(x)=\frac{1}{2} \)"

\( f(\frac{109}{2020})=\frac{1}{2}f(\frac{327}{2020})=\frac{1}{4}f(\frac{981}{2020})=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \)


類題 105北一區(花蓮高中)學科能力競賽
(出處 7/23 補充,今天再看,突然想起來了,這好像是  Cantor function。Google 一下,果然真的是啊!)

已知函數 \( f(x) \) 滿足下列性質

(a) 若 \( x_{1}\leq x_{2} \),則 \( f(x_{1})\leq f(x_{2}) \)

(b) \( f(1-x)=1-f(x) \)

(c) \( f(5x)=2f(x) \),

則 (1) 求 \( f(0) \), \( f(1) \), \( f(\frac{1}{5}) \), \( f(\frac{4}{5}) \) 的值。

(2) 求 \( f(x)=\frac{1}{2} \) 的解集合。

(3) 求 \( f(11.15) \) 及 \( f(\frac{1}{2016}) \) 的值。

其中最有意思的應該是第(2) 解集合,從(1)的結果,不難猜到是 \( [ \frac15, \frac45 ] \)
但有意思的就是再多一點點或少一點點函數值就不是這樣了的論證

[ 本帖最後由 tsusy 於 2020-7-23 10:20 編輯 ]
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回復 31# ibvtys 的帖子

105 北一區(花蓮)
其本上就是 Cantor set, Cantor function

首先,易知對任意 \( n\in\mathbb{N}, f(\frac{1}{5^{n}})=\frac{1}{2^{n}} \)

可得 \( f(1-\frac{1}{5^{n}})=1-f(\frac{1}{5^{n}})=1-\frac{1}{2^{n}} \)

因此 \( f(\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{n+1}})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}} \)

對任意 \( t \) 滿足 \( 0\leq t<\frac{1}{2} \),存在正整數 \( n \) 使得 \( t<\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5^{n}} \)

又 \( f(x) \) 為遞增函數,因此 \( f(t)\leq f(\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{n+1}})<\frac{1}{2} \)。

再由 \( f(1-x)=1-f(x) \),可得對任意 \( t \) 滿足 \( \frac{4}{5}<t\leq1, f(t)>\frac{1}{2} \)
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