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109西松高中(新增官方版試題)

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計算2.
\(\Delta ABC\)之內切圓與三邊切於\(P,Q,R\)三點。
(1)試證:面積比\(\displaystyle \frac{\Delta PQR}{\Delta ABC}=\frac{r}{2R}\)。(其中\(\Delta ABC\)之內切圓半徑\(r\),外接圓半徑\(R\)。)
(2)試證:面積比\(\displaystyle \frac{\Delta PQR}{\Delta ABC}\le \frac{1}{4}\),可得任意三角形之\(2r\le R\)。

計算2(1)
設I為ABC的內心,可知IP=IQ=IR=r
以下的角度單位為度度量

PQR面積=1/2*r^2*sin(180-A)+1/2*r^2*sin(180-B)+1/2*r^2*sin(180-C)
=1/2*r^2*sinA+1/2*r^2*sinB+1/2*r^2*sinC
=1/2*r^2*(a/2R)+1/2*r^2*(b/2R)+1/2*r^2*(c/2R)

ABC面積=rs=r*(a+b+c)*1/2

兩者下去相除,即可得題目所求 r/2R

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請問第9題
空間中兩單位向量\(\vec{a},\vec{b}\),其夾角\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)。若存在一個向量\(\vec{p}\)與三個向量\(\vec{a},\vec{b},\vec{a}\times \vec{b}\)的夾角皆為\(\theta\)度,則\(cos 2 \theta=\)   

p向量到和其他三個向量夾角皆相同
這個條件要怎麼用

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