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109西松高中(新增官方版試題)

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填充1.
設拋物線\(x^2=4y\)上取兩點\(A,B\),使\(\overline{AB}=2\),在\(A,B\)處分別作拋物線的切線,則此兩切線交點的軌跡方程式為   

\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\),\(\displaystyle y'=\frac{1}{2}x\)
設 \(A(2a, a^2),~B(2b, b^2)\),
則過 A 點的切線斜率為 a,切線為 \(ax-y=a^2\),同理,過 B 點的切線為 \(bx-y=b^2\)
兩直線解聯立可得交點 \(P(a+b, ab)\),即 \(x=a+b,~y=ab\)
則可推知 \(a^2+b^2=x^2-2y\),且 \((a-b)^2=x^2-4y\)
由 \(\overline{AB}^2=(2a-2b)^2+(a^2-b^2)^2=4\),可得 \((x^2-4y)(x^2+4)=4\)

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填充2. 橢圓方程式 \(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\),拋物線方程式 \(\displaystyle y^2=\frac{1}{2}x\)

填充3.  當 \(\overline{AB}\) 有最小值時,切線為 \(y=ax+b\),試求數對 \((a,b)\)

填充6. \(\sqrt{x^4-x^2-4x+5}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)    (不確定係數)

計算三(2).
設橢圓方程式 \(\displaystyle \frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y+2)^2}{16}=1\),證明 \(\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{\overline{PF}}{d(P,L)}\),並求出兩條準線方程式。(不確定橢圓的中心點)

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想請教計算二

[ 本帖最後由 royan0837 於 2020-7-8 18:18 編輯 ]

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