填充1.
設拋物線\(x^2=4y\)上取兩點\(A,B\),使\(\overline{AB}=2\),在\(A,B\)處分別作拋物線的切線,則此兩切線交點的軌跡方程式為 。
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\),\(\displaystyle y'=\frac{1}{2}x\)
設 \(A(2a, a^2),~B(2b, b^2)\),
則過 A 點的切線斜率為 a,切線為 \(ax-y=a^2\),同理,過 B 點的切線為 \(bx-y=b^2\)
兩直線解聯立可得交點 \(P(a+b, ab)\),即 \(x=a+b,~y=ab\)
則可推知 \(a^2+b^2=x^2-2y\),且 \((a-b)^2=x^2-4y\)
由 \(\overline{AB}^2=(2a-2b)^2+(a^2-b^2)^2=4\),可得 \((x^2-4y)(x^2+4)=4\)