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109西松高中(新增官方版試題)

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回復 4# royan0837 的帖子

計算證明二 (2)
用尤拉定理,\(\Delta ABC\)的內心為\(I\),外心為\(O\),則\({{\overline{OI}}^{2}}={{R}^{2}}-2Rr\)
\(\begin{align}
  & {{\overline{OI}}^{2}}={{R}^{2}}-2Rr\ge 0 \\
& R\ge 2r \\
& \frac{r}{2R}\le \frac{1}{4} \\
\end{align}\)
等號成立於正三角形時

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回復 1# Superconan 的帖子

填充第7題
已知實數\(\alpha,\beta\)分別滿足\(\alpha^3+3\alpha^2+6\alpha-8=0\)及\(\beta^3-6\beta^2+15\beta-2=0\),則\(\alpha+\beta\)之值為   

易知\({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x-8=0\)和\({{y}^{3}}-6{{y}^{2}}+15y-2=0\)都恰有一實根
令兩實根和\(x+y=a\)
展開\({{\left( a-x \right)}^{3}}-6{{\left( a-x \right)}^{2}}+15\left( a-x \right)-2=0\),比較係數,可知\(a=1\)

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回復 1# Superconan 的帖子

填充第3題
設橢圓:\(\displaystyle \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1\),點\(P(x_0,y_0)\)為橢圓上第一象限中的一點,過點\(P\)作切線交\(x\)軸交於點\(A\),交\(y\)軸於點\(B\),當\(\overline{AB}\)有最小值時的切線方程式為\(y=ax+b\),則數對\((a,b)=\)   

\(P\left( 5\cos \theta ,4\sin \theta  \right)\)
直線\(AB\)之方程式為\(\frac{\cos \theta }{5}x+\frac{\sin \theta }{4}y=1\)
\(\begin{align}
  & A\left( \frac{5}{\cos \theta },0 \right),B\left( 0,\frac{4}{\sin \theta } \right) \\
& \overline{AB}=\sqrt{{{\left( \frac{5}{\cos \theta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{\sin \theta } \right)}^{2}}} \\
& \left[ {{\left( \frac{5}{\cos \theta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{\sin \theta } \right)}^{2}} \right]\left( {{\cos }^{2}}\theta +{{\sin }^{2}}\theta  \right)\ge {{\left( 5+4 \right)}^{2}}=81 \\
\end{align}\)
等號成立於\(\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{3},\sin \theta =\frac{2}{3}\)
直線\(AB\)之方程式為\(y=-\frac{2\sqrt{5}}{5}x+6\)

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回復 13# Christina 的帖子

填充第7題
已知實數\(\alpha,\beta\)分別滿足\(\alpha^3+3\alpha^2+6\alpha-8=0\)及\(\beta^3-6\beta^2+15\beta-2=0\),則\(\alpha+\beta\)之值為   

寫清楚一些好了
\({{\alpha }^{3}}+3{{\alpha }^{2}}+6\alpha -8=0\),\(\alpha \)是\({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x-8=0\)的唯一實根
\({{\beta }^{3}}-6{{\beta }^{2}}+15\beta -2=0\),\(\beta \)是\({{y}^{3}}-6{{y}^{2}}+15y-2=0\)的唯一實根
令\(\alpha +\beta =a\)
\(\beta =a-\alpha \)代入\({{\beta }^{3}}-6{{\beta }^{2}}+15\beta -2=0\)
整理可得\({{\alpha }^{3}}-\left( 3a-6 \right)\alpha +\left( 3{{a}^{2}}-12a+15 \right)\alpha -\left( {{a}^{3}}-6{{a}^{2}}+15a-2 \right)=0\)
由於\(a\)為定值,故與\({{\alpha }^{3}}+3{{\alpha }^{2}}+6\alpha -8=0\)比較係數後可得\(a=1\)

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回復 15# satsuki931000 的帖子

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