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109中科實中國中部

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投擲兩粒公正的骰子,當點數和為7時,可得100元獎金,並取得繼續投擲的權利,若第二回又擲出點數和為7,可再得100元並可繼續投擲,如此繼續進行,設\(X\)表示此人所得獎金數,試求:
(1)\(E(x)=\)?
(2)\(Var(x)=\)?
[解答]
使用\(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 \)
\(E(X^2) \)用兩次差比級數應該能做得出來

算了一下
\(\displaystyle E(X^2)=100^2\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}+200^2\times (\frac{1}{6})^2\times \frac{5}{6}+300^2\times (\frac{1}{6})^3\times \frac{5}{6}+\cdots \)
\(\displaystyle\frac{1}{6}E(X^2)=100^2\times (\frac{1}{6})^2\times \frac{5}{6}+200^2\times (\frac{1}{6})^3\times \frac{5}{6}+300^2\times (\frac{1}{6})^4\times \frac{5}{6}+\cdots \)
相減得\(E(X^2)=100(100\times \frac{1}{6}+300(\frac{1}{6})^2+500\times (\frac{1}{6})^3+...)\)

再用一次差比可求出\(S=100\times \frac{1}{6}+300(\frac{1}{6})^2+500\times (\frac{1}{6})^3+...)=28\)
因此\(E(X^2)=2800\)

又\(E(X)=20 \)
所求\(Var(X)=2800-20^2=2400 \)

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