倒數第三行開始有誤，應是
\(\begin{align}
  & {{k}_{2}}=1\ ,\ 1853\le {{k}_{1}}\le 2020 \\
& : \\
& : \\
& {{k}_{2}}=167\ ,\ 2019\le {{k}_{1}}\le 2186 \\
\end{align}\)

您取 166 和 167 時，會有一個很小的銳角和另一個很接近 360 度的角，都符合題意

您沒算到的部份
\(\begin{align}
  & {{k}_{2}}=1852\quad ,\quad 1853\le {{k}_{1}}\le 2019 \\
& {{k}_{2}}=1853\quad ,\quad 1854\le {{k}_{1}}\le 2019 \\
& : \\
& : \\
& {{k}_{2}}=2017\quad ,\quad 2018\le {{k}_{1}}\le 2019 \\
& {{k}_{2}}=2018\quad ,\quad {{k}_{1}}=2019 \\
\end{align}\)

小弟是這樣算的
當您選定2020個點中的某一點
往前有168個點可選，往後也有168個點可選
由於每兩點會重複算一次
故全部有\(168\times 2\times 2020\times \frac{1}{2}=339360\)組選法

第19題
\(\begin{align}
  & \frac{3}{2!}-\frac{4}{3!}+\frac{5}{4!}-\frac{6}{5!}+\frac{7}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{n+2}{\left( n+1 \right)!} \\
& =\left[ \frac{2}{2!}-\frac{3}{3!}+\frac{4}{4!}-\frac{5}{5!}+\frac{6}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{n+1}{\left( n+1 \right)!} \right]+\left[ \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{1}{\left( n+1 \right)!} \right] \\
& =\left[ 1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{1}{n!} \right]+\left[ \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}-\cdots +{{\left( -1 \right)}^{n+1}}\times \frac{1}{\left( n+1 \right)!} \right] \\
& =1 \\
\end{align}\)