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109北科附工

計算2
若\(a\)是一個有理數且滿足\(\displaystyle \frac{1}{\root 3 \of 4+\root 3 \of 2+a}=\alpha \root 3 \of 4+\beta \root 3 \of 2+\gamma\),其中\(\alpha,\beta,\gamma\)為有理數。試求\(\alpha,\beta,\gamma\)(用\(a\)表示)
[解答]
用乘法公式解決
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
\(\displaystyle \frac{\root 3 \of{16}+\root 3 \of{4}+a^2-\root 3 \of{4}a-\root 3 \of{2}a-2}{(\root 3 \of{4}+\root 3 \of{2}+a)(\root 3 \of{16}+\root 3 \of{4}+a^2-\root 3 \of{4}a-\root 3 \of{2}a-2)}=\frac{\root 3 \of{4}(1-a)+\root 3 \of{2}(2-a)+(a^2-2)}{(\root 3 \of{4})^3+(\root 3 \of{2})^3+a^3-3 \cdot \root 3 \of{4}\cdot \root 3 \of{2}\cdot a}=\alpha \root 3 \of{4}+\beta \root 3 \of{2}+\gamma\)
\(\displaystyle \alpha=\frac{1-a}{a^3-6a+6},\beta=\frac{2-a}{a^3-6a+6},\gamma=\frac{a^2-2}{a^3-6a+6}\)

110.2.25補充
更多三次根號化簡的題目,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840

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