回復 35# Uukuokuo 的帖子
填充8:先弄微積分,有沒有純中學方法再想想
令 \( x=3\tan\theta, 0\leq\theta<\frac{\pi}{2} \)
則 \( f(x)=7\sec\theta-2\tan\theta \)
\( \frac{d}{d\theta}(7\sec\theta-2\tan\theta)=7\tan\theta\sec\theta-2\sec^{2}\theta=\frac{7\sin\theta-2}{\cos^{2}\theta} \)
當 \( 0\leq\theta<\sin^{-1}\frac{2}{7} \) 時,\( \frac{7\sin\theta-2}{\cos^{2}\theta}<0 \);
當 \( \sin^{-1}\frac{2}{7}\leq\theta<\frac{\pi}{2} \) 時,\( \frac{7\sin\theta-2}{\cos^{2}\theta}>0 \),
故 \( 7\sec\theta-2\tan\theta \) 在 \( 0\leq\theta<\frac{\pi}{2} \) 中,以 \( \theta=\sin^{-1}\frac{2}{7} \) 時,有最小值,
此時 \( x=3\tan\left(\sin^{-1}\frac{2}{7}\right)=3\cdot\frac{2}{\sqrt{7^{2}-2^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{5}} \)