9.
已知直線\(L\)：\(6x-5y-28=0\)交橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)(\(a>b>0\),且\(a,b\)皆為正整數)於兩點\(A\)、\(C\)，且\(B(0,b)\)為橢圓\(\Gamma\)的頂點。若\(\Delta ABC\)的重心\(G\)恰為橢圓的右焦點\(F_2(c,0)\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，則橢圓\(\Gamma\)的正焦弦長為 。
橢圓那題應該有誤，a,b不能同時是整數。
不然就是我理解有誤
\(L:6x-5y-28=0,\,y=\frac{6x-28}{5}\)，令橢圓與直線的兩交點為\(\left(\alpha,\frac{6 \alpha-28}{5}\right),\left(\beta,\frac{6 \beta-28}{5}\right)\)
兩交點與\((0,b)\)之重心為\((c,0)\)
由y座標：\(b+\frac{6 \alpha-28}{5}+\frac{6 \beta-28}{5}=0\) => \(5b+6\alpha-28+6\beta-28=0\) => \(\alpha+\beta=\frac{56-5b}{6}\) ===(*)
由x座標：\(\frac{0+\alpha+\beta}{3}=c\) ==由(*)==> \(c=\frac{56-5b}{18}\)
所以\(c\)為有理數。又\(a,b\)為正整數，且\(a=\sqrt{b^2+c^2}\)，所以c亦為正整數。
由\(b,c\)為正整數與\(c=\frac{5b+56}{18}\)，可得\(b=4,c=2\)，所以\(a=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}\)。
所以正焦弦長為\(\frac{16\sqrt{5}}{5}\)。
但是\(a\)不是整數，與題目設定不合。
我用GGB跑了一下也是一樣的結果。
希望不是我理解錯誤。
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2020-4-18 23:27
