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臺東縣107 學年度教師聯合甄選試題

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第 6 題
設在\(\Delta ABC\)中,\(a,b,c\)分別為角\(A,B,C\)對邊的邊長,且\(2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinC\),則\(sinB+sinC\)的最大值為何?
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
題目有問題
sinx 最大才 1,sinB + sinC 怎麼可能是 3


第 11 題
設集合\(A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}\),試問集合\(A\)有多少個子集合(包含空集合)至多包含三個連續整數中的一個數?
(A)125 (B)127 (C)129 (D)131
[提示]
https://math.pro/db/thread-1761-1-7.html


第 23 題
參考 100 彰女
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1113&page=3#pid4981


第 24 題
將\(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\)共10個數字放入下方2列5行的格子內,每個格子恰好放入一個數字且數字不能重複,並規定:
(1)每一行下面的數字不能比上面大(2)每一列左邊的數字不能比右邊大。請問共有幾種填入數字的方式?
☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐
(A)42 (B)44 (C)46 (D)48
[提示]
Catalan Numbers
參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1658&page=1#pid8642

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回復 1# kyoyo0222 的帖子

第12題
設\(f(x)=x^2+8x+8\),若\(R=\{\;(x,y)|f(x)+f(y)\le 0且f(x)-f(y)\le 0\}\;\),則\(R\)的面積為何?
(A)\(11\pi\) (B)\(10\pi\) (C)\(9\pi\) (D)\(8\pi\)
[解答]
\(\begin{align}
  & f\left( x \right)={{x}^{2}}+8x+8={{\left( x+4 \right)}^{2}}-8 \\
& f\left( x \right)+f\left( y \right)={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}-16\le 0 \\
& {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}\le 16 \\
&  \\
& f\left( x \right)-f\left( y \right)={{\left( x+4 \right)}^{2}}-{{\left( y+4 \right)}^{2}}\le 0 \\
& \left( x+y+8 \right)\left( x-y \right)\le 0 \\
\end{align}\)
畫出圖形就有答案了


第18題
投擲一枚均勻硬幣8次,在最初3次的投擲中曾出現正面的條件下,8次投擲中恰出現4次的機率為何?
(A)\(\displaystyle \frac{5}{32}\) (B)\(\displaystyle \frac{65}{256}\) (C)\(\displaystyle \frac{105}{256}\) (D)\(\displaystyle \frac{65}{224}\)
[解答]
前三次至少出現一次正面的情形有\({{2}^{8}}-{{2}^{5}}\)種
所求\(=\frac{C_{3}^{3}\times C_{1}^{5}+C_{2}^{3}\times C_{2}^{5}+C_{1}^{3}\times C_{3}^{5}}{{{2}^{8}}-{{2}^{5}}}\)

第25題
考慮平面坐標中,拋物線\(\Gamma\):\(y^2=x+3\),直線\(L\):\(y=x-3\)與兩坐標軸在第一象限所圍成的有界區域為\(S\);則\(S\)繞\(x\)軸旋轉所得的旋轉體之體積為何?
(A)\(9\pi\) (B)\(\displaystyle \frac{125}{6}\pi\) (C)\(27\pi\) (D)\(\displaystyle \frac{81}{2}\pi\)
[解答]
\(\pi \int_{0}^{6}{\left( x+3 \right)dx-}\pi \int_{3}^{6}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}dx}\)

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回復 5# p78526 的帖子

第 5 題
題目有問題

第 12 題
另一個是 (x - y)(x + y + 8) ≦ 0
分別畫 x - y ≧ 0,x + y + 8 ≦ 0 和 x - y ≦ 0,x + y + 8 ≧ 0

第 13 題
試問:\(100!+1,100!+2,100!+3,\ldots,100!+99,100!+100\)中,共有幾個數是質數?
(A)0 (B)1 (C)25 (D)26
[解答]
由 Wilson 定理,100! + 1 是 101 的倍數
而後面的 100! + a 都是 a 的倍數

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第19題
設一橢圓\(\Gamma\):\(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1\),點\(A(9,5)\),焦點\(F\)在中心點的右側,\(P\)為\(\Gamma\)上的動點,則\(\overline{PA}-\overline{PF}\)之最小值為何?
(A)5 (B)8 (C)\(\sqrt{61}\) (D)\(4\sqrt{46}-7\)
[解答]
PA - PF = PA - (8 - PF') = PA + PF' - 8

第20題
有10間房間,第1間有1人,第2間有2人,…,第10間有10人,共55人;從這55人中任選2人,則此2人不在同一房間的選法共有幾種?
(A)1215 (B)1320 (C)1440 (D)1485
[解答]
\(C_{2}^{55}-\left( C_{2}^{2}+C_{2}^{3}+\cdots +C_{2}^{10} \right)\)

第21題
以知某三角形的二高分別為4與12,若第三高之長為\(h\),則\(h\)介於下列哪一個範圍內?
(A)\(2<h<5\) (B)\(3<h<6\) (C)\(4<h<7\) (D)\(5<h<8\)
[解答]
\(\begin{align}
  & 4a=12b=hc \\
& a=\frac{hc}{4},b=\frac{hc}{12} \\
&  \\
& \frac{hc}{4}+\frac{hc}{12}>c \\
& \frac{hc}{4}-\frac{hc}{12}<c \\
\end{align}\)

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