老實說我不懂這個題目想要證什麼?
重心G在BC邊的中垂線上---->G本身就是三中線交點了，那代表過A中線就是BC中垂線
A在BC中垂線上，因此線段AB=AC，得證

因為你一開始就說重心G在BC邊的中垂線上，這就是一個足夠的條件了

說更明白一點，設BC中點叫D好了，重心必然使AGD共線，直線AGD為中線

那G又在中垂線上，代表的是中垂線上有兩點G、D，這就說明了直線GD是中垂線也是中線

這樣的論述應該只有用到"重心為三中線交點"還有"兩點決定唯一一直線"的公設