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108基隆女中

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回復 21# Chen 的帖子

第 6 題
\(m\)個相異正偶數與\(n\)個相異正奇數總和為1987,求\(3m+4n\)的最大值。
[解答]
95 建中和 101 台中女中考過

設 a_1 + a_2 + ...... + a_n + b_1 + b_2 + ...... + b_m = 1987
a_1 + a_2 + ...... + a_n ≧ 1 + 3 + ...... + (2n - 1) = n^2
b_1 + b_2 + ...... + b_m ≧ 2 + 4 + ...... + 2m = m^2 + m
m^2 + m + n^2 ≦ 1987
(m + 0.5)^2 + n^2 ≦ 1987.25
3m + 4n = 3(m + 0.5) + 4n - 1.5
再利用柯西不等式可求出 3m + 4n 之最大值 = 221


檢驗一下
依題意,n 必為奇數

(1) 1 + 3 + ...... + 87 < 1987 < 1 + 3 + ...... + 89
n 的最大可能值是 43,此時 m 非整數,不合

(2) n = 41,m = 19
但 2 + 4 + ...... + 38 > 1987 - (1 + 3 + ...... + 81)
故此組解不合

(3) n = 35,m = 27
1 + 3 + 5 + ...... + 69 = 1225
(2 + 4 + 6 + ...... + 52) + 60 = 762
1225 + 762 = 1987

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請教填充第10、第11

鋼琴老師,第10題照老師的提示還是寫不下去,
是否可請老師教我更清楚的過程,謝謝。

還有第11題,謝謝。

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回復 23#小姑姑 的帖子

第10題根據鋼琴師的提示後,221/60

用特殊角猜答案的(也想知道到底是怎麼正確做出來的)

第11題
矩陣\(A=\left[\matrix{cos\theta&sin\theta \cr sin\theta&-cos\theta} \right]\),求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{100}A^n\)。
[解答]
請參考
\(A=\left[\matrix{cos\theta & sin\theta\cr sin\theta&-cos\theta}\right]\),
\(A^2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\),
\(A^3=\left[\matrix{cos\theta& sin\theta\cr sin\theta&-cos\theta}\right]\),
\(A^4=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)
所求\(=25(A+A^2+A^3+A^4)=25\left[\matrix{2+2cos\theta&2sin\theta \cr 2sin\theta&2-2cos\theta}\right]\)

110.5.5
我的教甄準備之路 矩陣\(n\)次方https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

附件

第11題.pdf (99.87 KB)

2019-8-7 16:12, 下載次數: 1283

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回復 24# anyway13 的帖子

謝謝老師的第11題,真的很簡單耶!
我當下是用等比級數公式,但是det(A-I)=0,就卡…
謝謝。

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回復 23# 小姑姑 的帖子

第 10 題
後面用湊的
[5,12] = 60,221 = 13 * 17
所以知道是 5、12、13 的三角形

不湊的話,一定會碰到手算很難解的四次方程

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回復 26# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師。

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回復 23# 小姑姑 的帖子

第10題後面,令 t = sin theta + cos theta,則

sin theta * cos theta = (t^2-1)/2,

可以解 t = (221/60) * (t^2-1)/2,得 t = 17/13 或 -13/17

因為 x 與 x/sqrt(x^2-1) 同號,且兩者之和為正數,

所以 x 與 x/sqrt(x^2-1) 同為正數, sin theta 與 cos theta 皆為正,

得 t 為正數,即 sin theta + cos theta = 17/13,

進而得 sin theta * cos theta = 169/60

再得 (sin theta - cos theta)^2 = 1 - 2 sin theta * cos theta = 49/169

→ sin theta - cos theta = 正負 7/13

與 sin theta + cos theta = 17/13 一起解聯立方程式,

可得 cos theta ,進而得 sec theta。

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回復 28# weiye 的帖子

感謝瑋岳老師。

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回復 22# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano 老師。

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請教第2題

老師們好,想請教第二題。
有看出一點規律但寫不出來。

附件

截圖 2021-06-27 上午11.55.59.png (27.36 KB)

2021-6-27 12:00

截圖 2021-06-27 上午11.55.59.png

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