14.
已知\(-1\le x\le 1\)，\(y=\sqrt{4+\sqrt{3+\sqrt{1+x}}}+\sqrt{4+\sqrt{3+\sqrt{1-x}}}\)，求\(y\)的最大值 。
[解答]
利用\((a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)\)
\(y^2 \leq2(8+\sqrt{3+\sqrt{1+x}}+\sqrt{3+\sqrt{1-x}})=16+2(\sqrt{3+\sqrt{1+x}}+\sqrt{3+\sqrt{1-x}})\)
又因為\((\sqrt{3+\sqrt{1+x}}+\sqrt{3+\sqrt{1-x}})^2\leq12+2(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})\)
且\((\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2\leq4 \to \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\leq 2\)
所以回推回去\(\sqrt{3+\sqrt{1+x}}+\sqrt{3+\sqrt{1-x}}\leq 4\)
\(y^2\leq16+2(\sqrt{3+\sqrt{1+x}}+\sqrt{3+\sqrt{1-x}})=16+8=24\)
\(y\leq 2\sqrt{6}\)
