接續 5# Ellipse 的帖子
第14題:
AE=b/ㄏ3,AF=c/ㄏ3,角EAF=A+60
EF^2=(b/ㄏ3)^2+(c/ㄏ3)^2-2*b/ㄏ3*c/ㄏ3*cos(A+60)
=(b^2+c^2)/3-2bc/3*(cosA*1/2-sinA*ㄏ3/2)
=(b^2+c^2)/3-(2bc*cosA)*1/6+(1/2*bc*sinA)*2/ㄏ3
=(b^2+c^2)/3-(b^2+c^2-a^2)/6+ABC面積*2/ㄏ3
=(a^2+b^2+c^2)/6+ABC面積*2/ㄏ3
同法可證DE^2跟DF^2結果會跟EF^2一樣,故DEF為正三角形
且此正三角形DEF的面積=ㄏ3/4*EF^2= ㄏ3/24*(a²+b²+c²) + ABC面積/2
上面是往外作三個正三角形,若改為往內作三個正三角形,則角EAF=|A-60| , cos|A-60|=cos(A-60) , 再承上
可知此正三角形DEF的面積將改為 ㄏ3/4*EF^2= ㄏ3/24*(a²+b²+c²) - ABC面積/2
上面兩個面積剛好相差一個三角形 ABC 的面積.
