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108高雄市高中聯招

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第7題

想請教各位老師第七題,

\(a_1=1, a_2=0, a_3=3, a_4=1,...\)
數列三個一循環

將n分為三個cases

case 1:n為3的倍數
\(S_n=\frac{n}{3}(1+0+3)=\frac{4}{3}n\)
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

case 2:n為3的倍數+1
\(S_n=\frac{n-1}{3}(1+0+3)+1=\frac{4}{3}(n-1)+1\)
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

case 3:n為3的倍數+2
\(S_n=\frac{n-2}{3}(1+0+3)+1+0=\frac{4}{3}(n-2)+1\)
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

由case 1, 2, 3,
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

這樣的想法是否有誤?

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回復 49# nanpolend 的帖子

建立在\(a_4, a_5\)為偶數下,
前三項為1、3、5排列
後兩項為2、4排列
因此 \(P(a_1>a_2<a_3且a_4<a_5)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\)

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