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108桃園高中職聯招

回復 2# Superconan 的帖子

填充6
\(a,a,b \) 的最小角為 \(a,a\) 的夾角(因為 \(b\) 為最小邊)
\(a,b,b\) 的最小角為 \(a,b\) 的夾角(因為 \(b\) 為最小邊)
由餘弦定理及最小角相等知
\(\begin{align}
& \frac{2a^{2}-b^{2}}{2a^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}-b^{2}}{2ab} \\
& \left(\frac{a}{b}\right)^{3}-2\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+1=0 \\
& \left[\left(\frac{a}{b}\right)-1\right]\left[\left(\frac{a}{b}\right)^{2}-\left(\frac{a}{b}\right)-1\right]=0 \\
\end{align}\)
因為 \(a>b>0\),所以 \(\begin{align} \frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{align}\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-25 15:12 編輯 ]

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回復 2# Superconan 的帖子

填充7
\(f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\),得 \(f(0)=0\)
設 \(f(1)=n\),其中 \(n\) 為非負整數
由 \(f(m+n)=f(m)+f(n) \) 可知 \(f(n)=n\times f(1)=n^{2}\)
由條件知 \(f(f(1))+f(f(0))=1+0=1\)
由計算知 \(f(f(1))+f(f(0))=f(n)+f(0)=f(n)+0=f(n)\)
因此 \(n^{2}=f(n)=1\),即得 \(n=1\)
所以 \(f(1)=1\),即 \( \forall k\),\(f(k)=k\)
所求 \(f^{-1}(2019)+108=2019+108=2127\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-25 15:40 編輯 ]

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回復 2# Superconan 的帖子

填充13
向量\(Q_{1}P+\)向量\(PQ_{2}=\)向量\(Q_{1}Q_{2}=(-4,2,2)\)
設 \(Q_{1}(t,2t,3t)\)、\(Q_{2}(-2-s,6-2s,4+s)\),向量\(Q_{1}Q_{2}=(-2-s-t,6-2s-2t,4+s-3t)=(-4,2,2)\)
因此\(\left\{ \begin{align}
& s+t=2 \\
& s-3t=-2 \\
\end{align} \right.\) 得 \((s,t)=(1,1)\),\(P=Q_{1}+\)向量\(Q_{1}P=(-1,0,4)\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-25 17:07 編輯 ]

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回復 21# Uukuokuo 的帖子

如同yi4012老師所證
\(f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)+f(1)=f(n-2+1)+f(1)=f(n-2)+2f(1)=.......=nf(1)\)

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回復 23# 小姑姑 的帖子

計算1
設 \(A=
\left[ \begin{array}
\ x^{2}_{1}&x_{1}&1\\
x^{2}_{2}&x_{2}&1\\
x^{2}_{3}&x_{3}&1
\end{array}
\right]\),則 \( \det(A)=-(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{3}-x_{1})\neq 0\)
取  \(\left[ \begin{array}
\ a\\
b\\
c
\end{array} \right]=A^{-1}\left[ \begin{array}
\ y_{1}\\
y_{2}\\
y_{3}
\end{array} \right]\) 即可,因為 \(A\left[ \begin{array}
\ a\\
b\\
c
\end{array} \right]=\left[ \begin{array}
\ y_{1}\\
y_{2}\\
y_{3}
\end{array} \right]\) 的 \(\left[ \begin{array}
\ a\\
b\\
c
\end{array} \right]\) 有唯一解

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-27 20:18 編輯 ]

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回復 30# tin10122001 的帖子

\(14b+c \leq 45\)
若 \(b=1\),則 \(a=12\),\(c=1\sim 31\)
若 \(b=2\),則 \(a=24\),\(c=1\sim 17\)
若 \(b=3\),則 \(a=36\),\(c=1\sim 3\)
共 \(31+17+3=51\) 組

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-28 10:42 編輯 ]

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