另解:
    n(n+1)/2^n=(1+2+3+.......+n)/2^(n-1)  ,  n=1,2,3,4,........
所求=[(1/2^0+1/2^1+1/2^2+.....)+(1/2^1+1/2^2+.....)+(1/2^2+.....)+.......]/(1-1/2)
                                      (  [............ ]為各取一個的第一回合,而第二回合所取之值是第一回合的一半,公比=1/2,取無限多回合 )
       =[2+1+1/2+.....]*2=4*2=8

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-4-30 15:58 編輯 ]

填充 15.
另解 :   所求/4=1+[(1+x)/2]+[(1+x)/2]^2+[(1+x)/2]^3+.......中 x^2 的係數
                       =1/[1-(1+x)/2]=2/(1-x)=2(1+x+x^2+....)中 x^2 的係數
                       =2  , 故所求=8

若原題中分子改為n(n+1)(n+2) ,分母不變
則  所求/(2*3*2^2)=1+[(1+x)/2]+[(1+x)/2]^2+[(1+x)/2]^3+[(1+x)/2]^4+.......中 x^3 的係數
                         =1/[1-(1+x)/2]=2/(1-x)=2(1+x+x^2+....)中 x^3 的係數
                         =2  , 故所求=48
若原題中分子改為n(n+1)(n+2)(n+3) ,分母不變 , 則所求=2*3*4*2^3*2=384
若原題中分子改為n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) ,分母不變 , 則所求=5!*2^5 ,  即分子有k個數時 , 所求=k!*2^k   (此結論經由Excel 驗證，無誤)

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-4-30 21:35 編輯 ]

把撞球檯直的分六行,橫的分四列,共24 空格,球必走空格的對角線,如此很快就可看出反射九次到達A點,構成一週期.

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-5-3 11:20 編輯 ]