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108彰化女中

填充7.

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2019-5-6 08:51

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回復 23# anyway13 的帖子

填充第12題:

設在複數平面上這十個等分點分別是 \(A_1\left(1\right),A_2\left(\omega\right), A_3\left(\omega^2\right),\cdots, A_{10}\left(\omega^9\right)\),

其中 \(\omega= \cos \frac{2\pi}{10}+i \sin\frac{2\pi}{10}\),且易得 \(\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\cdots\left(x-\omega^9\right)=1+x+x^2+\cdots+x^9\)




先算 \(A_1\) 到其餘九點的距離乘積 \(\left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^9\right)\right|=\left|1+1^1+1^2+\cdots+1^9\right|=10\)

所以,[相對位置旋轉一圈,可知]
這十個點中的任一點,到其餘九點的距離乘積都是 \(10\)。



[因為 \(A_i\) 連到 \(A_j\) 的線段長 = \(A_j\) 連到 \(A_i\) 的線段長]
故,所求 \(=\sqrt{10^{10}}=100000\)。

多喝水。

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