求\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{1}{2n}\right)^p+\left(\frac{2}{2n}\right)^p+\ldots+\left(\frac{2n}{2n}\right)^p}
{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)^p+\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{2n}\right)^p+\ldots+\left(\frac{1}{2}+\frac{n}{2n}\right)^p}\)之值\((p>0)\)　　　。
[解答]
切片切的順手就好的，還是喜歡把範圍限在0到1

原式\( \displaystyle=2\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{2n}\sum\limits_{k=1}^{2n}\left(\frac{k}{2n}\right)^p}{\displaystyle\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}+\frac{k}{2n}\right)^p}=2\times\frac{\displaystyle\int_0^1x^pdx}{\displaystyle\int_0^1\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{2}\right)^pdx}=\frac{2^{p+1}}{2^{p+1}-1} \)

111.2.14補充
105鳳山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2511&page=2#pid15490

把「10」當\(x\)，「110」當\(y\)，用整數解配排列討論看看

先補個出處
97家齊女中
https://math.pro/db/thread-792-1-7.html

\(\displaystyle f(x+1)=\frac{x+2}{x+1}\times f(x)+\frac{3}{4}\times(x+2)+x(x+2)\)，\(\displaystyle\frac{f(x+1)}{x+2}=\frac{f(x)}{x+1}+x+\frac{3}{4}\)
令\(\displaystyle a_n=\frac{f(n)}{n+1}\)，\(\displaystyle a_{n+1}=a_n+n+\frac{3}{4}\)
剩下就很簡單了