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回復 8# 小姑姑 的帖子

不知道這樣有沒有問題
設 \(f(x)=x^{3}+ax+b\),則 \(f'(x)=3x^{2}+a\)
1.若 \(a \geq 0\),則 \(f'(x)\geq 0 \ \ \ \forall x\),即 \(f(x)\) 遞增,只有一解(但 \(a=b=0\) 時三重根)
2.若 \(a<0\),則當 \(x=\sqrt{-\frac{a}{3}}\) 時有極小值 \(f(\sqrt{-\frac{a}{3}})=\frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}+b\)、極大值 \(f(-\sqrt{-\frac{a}{3}})=-\frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}+b\)
此時如果極小值為正或極大值為負時,\(f(x)\) 恰有一解,即 \(f(\sqrt{-\frac{a}{3}})=\frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}+b>0 \) 或 \(-\frac{2}{3}a\sqrt{-\frac{a}{3}}+b<0\)
整理後皆得 \(27b^{2}+4a^{3}>0\)
綜合1 2 兩點得 \(27b^{2}+4a^{3}>0\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-30 20:03 編輯 ]

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