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108麗山高中

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回復 5# Christina 的帖子

第 9 題
您的答案正確

\(\begin{align}
  & \frac{n+2}{n!+\left( n+1 \right)!+\left( n+2 \right)!} \\
& =\frac{n+2}{n!\left( 1+n+1+{{n}^{2}}+3n+2 \right)} \\
& =\frac{1}{n!\left( n+2 \right)} \\
& =\frac{n+2-1}{\left( n+2 \right)!} \\
& =\frac{1}{\left( n+1 \right)!}-\frac{1}{\left( n+2 \right)!} \\
\end{align}\)

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回復 1# Almighty 的帖子

第 1 題
答案是 125

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回復 8# Christina 的帖子

第 1 題
若 5 座島兩兩之間都有通道,則有 C(5,2) = 10 條通道
從 10 條通道中選 4 條,有 C(10,4) = 210 種選法

以下情形不能讓 5 座島相通,須扣除
(1) 其中 3 座相通(用 3 條通道),另 2 座也相通(用 1 條通道),但此二系統不互通
有 C(5,3) = 10 種情形

(2) 其中 4 座相通(用 4 條通道),另 1 座獨立
有 C(5,4) * C(6,4) = 75 種情形

所求 = 210 - 10 - 75 = 125

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回復 8# Christina 的帖子

第 13 題
\(\begin{align}
  & \alpha \beta =1 \\
& {{S}_{1}}=\alpha +\beta =1 \\
& {{S}_{2}}={{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}=-1 \\
& {{S}_{3}}=\left( \alpha +\beta  \right)\left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)-\alpha \beta \left( \alpha +\beta  \right)={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=-2 \\
& {{S}_{4}}=\left( \alpha +\beta  \right)\left( {{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}} \right)-\alpha \beta \left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)={{S}_{3}}-{{S}_{2}}=-1 \\
& {{S}_{5}}={{S}_{4}}-{{S}_{3}}=1 \\
& {{S}_{6}}={{S}_{5}}-{{S}_{4}}=2 \\
& {{S}_{7}}={{S}_{6}}-{{S}_{5}}=1 \\
& {{S}_{8}}={{S}_{7}}-{{S}_{6}}=-1 \\
\end{align}\)
六個一循環
所求\(=[\frac{100}{6}]\times 2+1=33\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-21 00:29 編輯 ]

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回復 19# jasonmv6124 的帖子

第 11 題
\(\begin{align}
  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=x+y=n \\
& xy=\frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{2}=\frac{{{n}^{2}}-n}{2} \\
& {{\left( x-y \right)}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}-4xy={{n}^{2}}-4\times \frac{{{n}^{2}}-n}{2}=-{{n}^{2}}+2n \\
& x-y=\pm \sqrt{-{{n}^{2}}+2n} \\
& {{x}^{4}}-{{y}^{4}}=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( x+y \right)\left( x-y \right)=\pm {{n}^{2}}\sqrt{-{{n}^{2}}+2n}=\pm \sqrt{-{{n}^{6}}+2{{n}^{5}}} \\
\end{align}\)
微分可知,\(n=\frac{5}{3}\)時,有最大值\(\frac{25}{27}\sqrt{5}\)

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回復 22# Almighty 的帖子

不用,等號會成立在\(x=\frac{5+\sqrt{5}}{6},y=\frac{5-\sqrt{5}}{6}\)
而它符合\(x+y={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{5}{3}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-22 10:53 編輯 ]

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回復 33# satsuki931000 的帖子

計算第 2 題
100 中壢高中和鳳山高中考過

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-25 00:01 編輯 ]

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回復 37# Uukuokuo 的帖子

第 14 題
\(\begin{align}
  & P\left( x,y,z \right) \\
& x+y+z=0 \\
&  \\
& {{\overline{PA}}^{2}}+{{\overline{PB}}^{2}}+{{\overline{PC}}^{2}} \\
& =3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3{{y}^{2}}+2+{{\left( z-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \\
& =3\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}} \right]+10 \\
& \ge 3\times \frac{{{\left( x+y+z-3 \right)}^{2}}}{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}+10 \\
& =19 \\
\end{align}\)
等號成立於\(x=0,y=-1,z=1\)

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回復 44# mojary 的帖子

填充第 2 題
把 y = bx + c 想成 x 軸
y = x^6 - 10x^5 + 29x^4 + kx^3 + ax^2 恰有三組等根
由根與係數,所求 = 10/2 = 5

計算第 1 題
定坐標 P(x,y,z)、A(0,0,0)、B(t,0,0)、C(t,t,0)、E(0,0,t)
列出四條方程,把 x、y、z 用 t 表示,可得一個四次方程
再來求出邊長 t 及體積,答案蠻醜的

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-30 20:44 編輯 ]

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回復 51# Superconan 的帖子

這 3 題前面幾頁都有答案或提示了

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