第 9 題
求級數\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2017}\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!=}\)　　　。
[解答]
您的答案正確

\(\begin{align}
  & \frac{n+2}{n!+\left( n+1 \right)!+\left( n+2 \right)!} \\
& =\frac{n+2}{n!\left( 1+n+1+{{n}^{2}}+3n+2 \right)} \\
& =\frac{1}{n!\left( n+2 \right)} \\
& =\frac{n+2-1}{\left( n+2 \right)!} \\
& =\frac{1}{\left( n+1 \right)!}-\frac{1}{\left( n+2 \right)!} \\
\end{align}\)

第 1 題
答案是 125

第 1 題
在五座自然島嶼之間建造四座橋，讓它們能夠連通，請問有幾種建橋方案？
[解答]
若 5 座島兩兩之間都有通道，則有 C(5，2) = 10 條通道
從 10 條通道中選 4 條，有 C(10，4) = 210 種選法

以下情形不能讓 5 座島相通，須扣除
(1) 其中 3 座相通(用 3 條通道)，另 2 座也相通(用 1 條通道)，但此二系統不互通
有 C(5，3) = 10 種情形

(2) 其中 4 座相通(用 4 條通道)，另 1 座獨立
有 C(5，4) * C(6，4) = 75 種情形

所求 = 210 - 10 - 75 = 125

第 13 題
設\(\alpha\)、\(\beta\)為\(x^2-x+1=0\)之兩根，若\(\alpha+\beta=\alpha^n+\beta^n\)，其中\(n\)為自然數且\(1\le n \le 100\)，求滿足上式的自然數\(n\)有幾個？
[解答]
\(\begin{align}
  & \alpha \beta =1 \\
& {{S}_{1}}=\alpha +\beta =1 \\
& {{S}_{2}}={{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}=-1 \\
& {{S}_{3}}=\left( \alpha +\beta  \right)\left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)-\alpha \beta \left( \alpha +\beta  \right)={{S}_{2}}-{{S}_{1}}=-2 \\
& {{S}_{4}}=\left( \alpha +\beta  \right)\left( {{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}} \right)-\alpha \beta \left( {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}} \right)={{S}_{3}}-{{S}_{2}}=-1 \\
& {{S}_{5}}={{S}_{4}}-{{S}_{3}}=1 \\
& {{S}_{6}}={{S}_{5}}-{{S}_{4}}=2 \\
& {{S}_{7}}={{S}_{6}}-{{S}_{5}}=1 \\
& {{S}_{8}}={{S}_{7}}-{{S}_{6}}=-1 \\
\end{align}\)
六個一循環
所求\(=[\frac{100}{6}]\times 2+1=33\)

第 11 題
\(x,y\)為實數且\(x>y\)，若\(x+y=x^2+y^2\)，則當\(x+y=n\)時，\(x^4-y^4\)有最大值\(M\)，求數對\((n,M)=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=x+y=n \\
& xy=\frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{2}=\frac{{{n}^{2}}-n}{2} \\
& {{\left( x-y \right)}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}-4xy={{n}^{2}}-4\times \frac{{{n}^{2}}-n}{2}=-{{n}^{2}}+2n \\
& x-y=\pm \sqrt{-{{n}^{2}}+2n} \\
& {{x}^{4}}-{{y}^{4}}=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( x+y \right)\left( x-y \right)=\pm {{n}^{2}}\sqrt{-{{n}^{2}}+2n}=\pm \sqrt{-{{n}^{6}}+2{{n}^{5}}} \\
\end{align}\)
微分可知，\(n=\frac{5}{3}\)時，有最大值\(\frac{25}{27}\sqrt{5}\)

不用，等號會成立在\(x=\frac{5+\sqrt{5}}{6},y=\frac{5-\sqrt{5}}{6}\)
而它符合\(x+y={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{5}{3}\)

計算第 2 題
100 中壢高中和鳳山高中考過

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-25 00:01 編輯 ]

第 14 題
\(\begin{align}
  & P\left( x,y,z \right) \\
& x+y+z=0 \\
&  \\
& {{\overline{PA}}^{2}}+{{\overline{PB}}^{2}}+{{\overline{PC}}^{2}} \\
& =3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3{{y}^{2}}+2+{{\left( z-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \\
& =3\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}} \right]+10 \\
& \ge 3\times \frac{{{\left( x+y+z-3 \right)}^{2}}}{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}+10 \\
& =19 \\
\end{align}\)
等號成立於\(x=0,y=-1,z=1\)

填充第 2 題
把 y = bx + c 想成 x 軸
y = x^6 - 10x^5 + 29x^4 + kx^3 + ax^2 恰有三組等根
由根與係數，所求 = 10/2 = 5

計算第 1 題
定坐標 P(x，y，z)、A(0，0，0)、B(t，0，0)、C(t，t，0)、E(0，0，t)
列出四條方程，把 x、y、z 用 t 表示，可得一個四次方程
再來求出邊長 t 及體積，答案蠻醜的

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-30 20:44 編輯 ]

這 3 題前面幾頁都有答案或提示了