計算第 2 題
設\(f(x)=-x^3+ax^2+bx+c(a,b,c \in R)\)，當\(x<0\)時\(f(x)\)為嚴格遞減函數，\(0<x<1\)時\(f(x)\)為嚴格遞增函數，且\(f(x)=0\)有三個實根，1為其中一個實根。
(1)求\(f(2)\)的範圍。
(2)試就\(a\)值討論直線\(L\)：\(y=x-1\)與曲線\(y=f(x)\)交點的個數。


\(\begin{align}
  & f(x)=-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \\
& f'(x)=-3{{x}^{2}}+2ax+b \\
\end{align}\)
\(f\left( x \right)\)在\(\left( -\infty ,0 \right)\)嚴格遞減，在\(\left( 0,1 \right)\)嚴格遞增，\(f\left( 1 \right)=0\)
\(\begin{align}
  & f'\left( 0 \right)=0,b=0 \\
& f'\left( 1 \right)=-3+2a+b>0,a>\frac{3}{2} \\
& f\left( 1 \right)=-1+a+b+c=0,c=1-a \\
&  \\
& f\left( 2 \right)=-8+4a+2b+c=3a-7>-\frac{5}{2} \\
&  \\
& f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+1-a \\
\end{align}\)

第 (2) 小題就討論\(-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}-x+2-a=\left( x-1 \right)\left[ -{{x}^{2}}+\left( a-1 \right)x+\left( a-2 \right) \right]=0\)之實根個數，就不做了
不過要注意 a = 2 時，有三實根(含兩重根)，但交點數只有 2 個

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-13 18:43 編輯 ]

填充第 1 題
除了判別式\({{\left( k+3 \right)}^{2}}-4\left( 2k+3 \right)>0\)之外，還有兩根和\(-\left( k+3 \right)<0\)及兩根積\(2k+3<0\)
\(\begin{align}
  & -3<k<-\frac{3}{2} \\
& k=-2 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-14 16:54 編輯 ]

填充第6題
應是\(0\le x\le 2\pi \)吧？
\(5\sin \left( \frac{\pi }{3}x \right)\)的週期是6，\(3\sin \left( \frac{\pi }{5}x \right)\)的週期是10
分別畫出其圖形，可知\(x=2\pi \)時有最大值
最小值就難囉

填充第 4 題
已知\(0<x<2\pi\)，\(A=\left[\matrix{cos x& cos x \cr cos x&sin x} \right]\)，\(A^n=\left[\matrix{a_n&b_n \cr c_n&d_n} \right]\)，則滿足\(a_5d_5=b_5c_5\)之所有相異實數解的和為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & {{a}_{5}}{{d}_{5}}-{{b}_{5}}{{c}_{5}} \\
& =\det \left( {{A}^{5}} \right) \\
& ={{\left( \det A \right)}^{5}} \\
& ={{\cos }^{5}}x{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{5}} \\
& =0 \\
& ...... \\
\end{align}\)

填充第 5 題
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{AC}=4\)、\(\overline{BC}=5\)，\(I\)為\(\Delta ABC\)的內心，\(P\)為\(
\Delta IBC\)(包含邊界)內的一點，若\(\vec{AP}=\alpha \vec{AB}+\beta \vec{AC}(\alpha,\beta\in R)\)，則\(\alpha+\beta\)的最小值為　　　。

填充第 2 題
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚等7人欲搭乘3艘不同的小船渡河，若每艘小船最多可載乘客5人，每船都至少載客1人且甲、乙兩人必須同船，則此 7人有[u]　　　[/u]種安全乘船的渡河方式？
[解答]
7 人任意搭乘且無空船，有\({{3}^{7}}-C_{1}^{3}\times {{2}^{7}}+C_{2}^{3}\times {{1}^{7}}=1806\)種搭法
甲、乙不同船且無空船，有\(3\times 2\times \left( {{3}^{5}}-{{2}^{5}} \right)=1266\)種搭法
所求\(=1806-1266=540\)種搭法

填充第 7 題
設\(a\)為實數，若三次方程式\(x^3+(-a^2+2a+2)x-2a^2-2a=0\)的三個根都是整數，則\(a\)值可能為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & {{x}^{3}}+\left( -{{a}^{2}}+2a+2 \right)x-2{{a}^{2}}-2a=0 \\
& \left( x-a \right)\left( {{x}^{2}}+ax+2a+2 \right)=0 \\
\end{align}\)
易知其中一根\(a\)為整數

設另兩整數根為\(b,c\)
\(\begin{align}
  & b+c=-a \\
& bc=2a+2 \\
& bc+2\left( b+c \right)=2 \\
& \left( b+2 \right)\left( c+2 \right)=6 \\
& ...... \\
\end{align}\)

若有說 f(x) = 0 有三個"相異"實根，就不能
若只說三實根，就能

題目應該會提到平行四邊形頂點的順序
另外\(R\)對應的複數，到底是\(2z\)還是\(2\overline{z}\)？

逆時針旋轉 45 度後，不會有 xy 項吧？