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sin(x+pi/3)-sin(3x)的最大值

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令 \( t = \sin ( x+\frac \pi 3 ) \),三倍角公式可得

目標式 = \( 4t -4t^3 = 4t(1-t^2) \)

由算幾不等式有

\( \frac{2t^{2}+(1-t^{2})+(1-t^{2})}{3}\geq\sqrt[3]{2t^{2}(1-t^{2})^{2}} \)

故 \( \left|t(1-t^{2})\right|\leq\frac{2\sqrt{3}}{9} \)

當 \( t = \frac 1{\sqrt{3}} \), \( x = \arcsin t +2n\pi \) 或 \( \pi - \arcsin t +2n \pi \), 其中 \( n \) 為任意整數時,目標式達最大值 \( \frac{8\sqrt{3}}{9} \)
文不成,武不就

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