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107張進通許世賢數學競賽

第2題

所求即 111...111 (100 個 1) * 333...333 (100 個 3) 以十進位表示的各位數字總和。


令 A =  999...999 (100 個 9),先考慮 A²,再將之除以 9 再除以 3,以利觀察其各位數字之規律。


A² = (10¹⁰⁰-1)² = 10²⁰⁰- 2*10¹⁰⁰ +1 = 999...999 (99 個 9) 8 000...000 (99 個 0) 1

除以 9 得:  111...111 (99 個 1) 0 888...888 (99 個 8) 9

再除以 3 得: 37037...037 (33 個 37) 0 296296...296 (33 個 296) 3

所求 = 33*27 + 3 = 894

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