問一下團體賽第三題
令\( \displaystyle \overline {AC} ,\overline {BD} \)交於點\( E \)，由共線性質知\( \displaystyle \overline {AE}  = \frac{1}{4}\overline {AC} \)
由圓冪定理：\( \displaystyle \overline {AE}  \times \overline {CE}  = \overline {DE}  \times \overline {BE} \)，\( \displaystyle \overline {DE}  \times \overline {BE}  = \frac{3}{4} \)
由分點公式令 \( \displaystyle \overline {DE}  = 3k,\overline {BE}  = 5k \)，解得\( \displaystyle k = \frac{1}{{2\sqrt 5 }} \)，\( \displaystyle \overline {BD}  = 8k = \frac{4}{{\sqrt 5 }} \)
請問這種作法錯在哪裡?

幫俞老師糾正第6題，如果是團體賽要直接給一組答案當然簡單
從題意就可以馬上看出\( \displaystyle {b^3} = {a^3} + 7, {c^3} = {a^3} + 26\)，要猜個正整數不難看出就是123
但題目是給正數，如果硬要給個過程的話
\( \displaystyle先將第一式乘2和第二式乘5消去常數項並化簡可將c用a,b表示為c = \frac{{2{a^3} + 5{b^3}}}{{7ab}}\)
\( \displaystyle利用{b^3} = {a^3} + 7和c = \frac{{2{a^3} + 5{b^3}}}{{7ab}}代入第三式可以得到\frac{{{{[2{a^3} + 5({a^3} + 7)]}^3}}}{{{7^3}{a^3}({a^3} + 7)}} = ab \times \frac{{2{a^3} + 5({a^3} + 7)}}{{7ab}} + 21\)
\( \displaystyle最後再移項化簡得18{a^6} + 107{a^3} - 125 = 0，a = 1為正數解\)

補個其他幾題的不同想法
\( \displaystyle 團體賽第2題，令{n^2} = {(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2},a,b \in N \)
\( \displaystyle 這裡雖然看似有不只一組解，事實上也可觀察只要代入任意數，例如代入a = {2^2}，b就會變成定值\)
\( \displaystyle {({2^2})^2} + 2 \times {2^2} \times {2^4} + {({2^4})^2} = {({2^2} + {2^4})^2}，(m,n) = (8,20)，m + n = 28\)

\( \displaystyle 團體賽第10題，\Delta BCD,\Delta BCP,\Delta BCA都是以\overline {BC}為底的三角形，因為P是\overline {AD}的中點，一個25，一個23，中間的答案當然就是24 \)