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107中正預校_國中

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107 中正預校_國中_答案.pdf (131.37 KB)

2018-6-3 16:23, 下載次數: 9698

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2018-6-3 16:23, 下載次數: 10832

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回復 24# litlesweetx 的帖子

17.
設兩複數\(z\)、\(w\)滿足\(|\;z+3-3i|\;=2\),\(|\;iw-1|\;=1\),則\(|\;z-w|\;\)之最大值為   
[解答]
\(\left| z+3-3i \right|=2\)在高斯平面上是圓\({{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}\)
\(\left| iw-1 \right|=\left| w+i \right|=1\)在高斯平面上是圓\({{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{1}^{2}}\)
……


18.
方程式\(sin x-3cos x=k\),在\(0\le x \le \pi\)的範圍內,有兩個相異的實數解,求實數\(k\)的範圍為   
[解答]
\(\begin{align}
  & \sin x-3\cos x=\sqrt{10}\sin \left( x-\theta  \right) \\
& \sin \theta =\frac{3}{\sqrt{10}},\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{10}} \\
\end{align}\)
觀察\(y=\sqrt{10}\sin \left( x-\theta  \right)\)與\(y=k\)之圖形,何時會有兩交點
……

109.6.6補充
(109全國高中職聯招,https://math.pro/db/thread-3342-1-1.html)

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回復 26# bettytsai 的帖子

該圖形是 y = √10sinx 往右平移,左邊界會出現在 x = π 時

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回復 28# nanpolend 的帖子

1.
\(x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1=0\)之所有根在複數平面上所對應之點,所圍成的凸多邊形面積為
(1)\(\displaystyle \frac{5}{2}\) (2)\(\displaystyle 2+\frac{\sqrt{3}}{2}\) (3)3 (4)4 (5)\(3\sqrt{3}\)
[解答]
\(\begin{align}
  & \left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{10}}+{{x}^{8}}+{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)=0 \\
& {{x}^{12}}-1=0 \\
\end{align}\)
\({{x}^{12}}=1\) 的十二個根,扣掉 \(\pm 1\),就是那十個根
把圖畫出來就簡單了

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回復 33# nanpolend 的帖子

填充第 14 題
設\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(x\)、\(y\)、\(z\)均為實數,若\(a^2+b^2+c^2=1\),\(x^2+y^2+z^2=4\),則\(\Bigg|\;\matrix{a+b&b+c&a+c\cr x+y&y+z&x+z \cr 3&4&3}\Bigg|\;\)的最大值為   
[解答]
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=27713#p27713

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回復 33# nanpolend 的帖子

第19題
設兩複數\(\displaystyle z_1=cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}\),\(\displaystyle z_2=cos \frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}\),若\(z_3=z_1 \cdot z_2\),\(\displaystyle z_4=\frac{z_1}{z_2}\)且\(a\)為實數,則\(|\;a-z_3|\;+|\;a-z_4|\;\)之最小值為   
[解答]
\(\begin{align}
  & {{z}_{3}}=\cos \frac{7}{12}\pi +i\sin \frac{7}{12}\pi  \\
& {{z}_{4}}=\cos \frac{1}{12}\pi +i\sin \frac{1}{12}\pi  \\
\end{align}\)
它們是高斯平面單位圓上的兩點
所求即x 軸上一點,到此兩點距離和之最小值

第20題
大於\((\sqrt{3}+\sqrt{2})^6\)的最小整數為   
[解答]
考慮\({{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{6}}+{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}\)
而\({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}\)很接近0

第25題
設\(\alpha\)為方程式\(\displaystyle log_{107}x=-x+3\)的實根,\(\beta\)為方程式\(107^x=-x+3\)的實根。則\((log_{107}\alpha)+107^{\beta}\)之值為   
[提示]
畫出\(y={{\log }_{107}}x\)、\(y={{107}^{x}}\)、\(y=-x+3\)之圖形
前兩者對稱於\(y=x\)
……


第26題
設\(\displaystyle a=\root 3\of{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\),則\(a^6-9a^2-18a-4\)之值為   
[提示]
\({{a}^{3}}=3+3a\)
……


第28題
試求最接近於\(\displaystyle 1000\sum_{n=3}^{10000}\frac{1}{n^2-4}\)之整數為三位數\(abc\),則\(a+b+c=\)   
[提示]
\(\displaystyle \frac{1}{{{n}^{2}}-4}=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+2} \right)\),再相消

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