8.
如果一個正整數的立方的末三位為999，則稱這樣的數為「久違數」，試求第二小的「久違數」是　　　。
第 8 題  改寫一下

題意同

1000 | n³ +1，即 1000 | (n +1)(n² -n +1)

因此聯想到考慮 n 對於 2，5 的餘數，易知:

n ≡ -1 (mod 2，mod5)

⇒ n² -n +1 ≡ 3 (mod 2，mod5)

⇒1000 | (n +1) (其逆亦真)

⇒ 所求 = 1999

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確實特殊的解法常只適合於存在特定的條件 (如第 8 題的"可因式分解")，本題更之前的想法是:

題意同  

1000 | n³ +1 ... (1)

易知

10 | n +1 ... (2)

(2)³ - (1)

1000 | 3n*(n+1)，又 1000 與 3n 互質

⇒1000 | (n +1)

⇒ 所求 = 1999   (這個解法也需要條件的特殊性)

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更一般的解法，個人想法是:  (以 laylay 老師舉的題目: 末三位為 543 為例)

顯然可只先考慮 <1000 的正整數，其百，十，個位數依序為 a，b，c。

(100a +10b +c)³，其個位數由 c 決定，十位數由 b，c 決定，百位數由 a，b，c 決定，依此順序分析。

(100a +10b +c)³ 個位數為 3 ⇒ c = 7

(100a +10b +7)³ 十位數為 4 ⇒ 70b +43 十位數為 4 ⇒ b = 0

(100a +7)³ 百位數為 5 ⇒ 700a +343 百位數為 5 ⇒ a = 6

⇒ 通項為 607 + 1000k，k 為非負整數。